I Ъшить уравнение - это значит найти все его корни или установить, что их нет.

Далее сообщается, что решение многих практических задач сводится к решению уравнений, которые можно преобразовать в уравнение

ах-Ъ, (1)

I дг а и Ъ - заданные числа, х - неизвестное. Уравнение (1) называют линей­ным уравнением.

Основное внимание в учебнике Ш.А. Алимова и др. уделяется изложе­нию правил последовательного преобразования уравнения ко всё более про- rfOMy виду. Фактически при этом приходят к уравнению ах-Ъ. Этот класс

уравнений явно не выделяется, но на примерах рассматриваются все возмож ные случаи решения уравнений из него. Такой подход позволяет сконцентрй ровать внимание непосредственно на алгоритмах решения уравнений.

3. В учебнике Д. К. Фаддеева «Алгебра 6-8. Материалы для ознакомлю* ния» (М., 1983) также вводится понятие уравнения первой степени с одним неизвестным и объясняется алгоритм его решения. В отличие от учебника Ш. А. Алимова и др. здесь дано явное определение этого уравнения.

Опр. 4, «Алгебраическое уравнение от одного неизвестного называет» уравнением первой степени, если обе его части являются многочленами пер­вой степени относительно неизвестного».

4. В учебнике С. М. Никольского, М. К. Потапова «Алгебра: Пособие для самообразования» (М., 1984) в системе изучения присутствуют оба поня­тия: и линейные уравнения с одним неизвестным, и уравнения первой степени,

Введение двух терминов (линейное уравнение и уравнение первой сте­пени) позволяет четче описать сам процесс решения, Однако при этом возни­кает необходимость в усвоении двух, а не одного термина. Точно так же ука­зание явного определения изучаемого понятия по сравнению с описанием имеет преимущество большей четкости, но предъявляет более высокие тре­бования к развитию логического мышления учащихся.

Выделенные 4 варианта изложения теории уравнений, имеющих вид ах + Ъ = сх + d, свидетельствуют о том, что эта теория допускает несколько различных по стилю и методике изучения развертываний.

Можно (как это сделано в 1-ом и 4-ом случаях) сконцентрировать внимание на выделении более узкого класса, играющего роль «канонического вида», к которому приводятся данные уравнения; но можно (как во втором и третьем случаях) обойтись и без этого, а сразу изучать способы решения уравнений общего класса, используя изученные типы преобразований урав­нений. Точно так же можно по-разному описывать вводимые термины: чет­ким определением или же посредством описания.

Несмотря на наличие таких разных подходов к введению первого клас­са уравнений, основная часть методики его изучения одинакова при любом из них. Это объясняется прежде всего тем, что основной целью изучения в данном случае всегда является освоение правил решения уравнений данно­го класса (в основном они относятся к преобразованиям буквенно-числовых выражений)

В итоге изучения первого класса уравнений учащиеся должны овла­деть: алгоритмом решения уравнений данного класса; умением применять результаты исследования уравнений данного класса; основными понятиями общей теории уравнений; применением уравнений данного класса к реше­нию текстовых задач.

* Me годика изучения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Такие уравнения называют линейными уравнениями с двумя переменными, Затем дается определение.

Опр. L Линейным уравнением с двумя переменными называется уран нение вида ах + by = с, где х и у- переменные, а, Ь. с- числа.

После этого учащиеся выясняют, что называется решением уравнения & двумя переменными. Рассматривается пример.

Уравнение х-у = 5 при х = 8, у = 3 обращается в верное равенство 8-3 = 5, Говорят, что пара значений переменных х = 8, у = 3 является решением этого уравнения. Формулируется определение,

Опр. 2 Решением уравнения с двумя переменными называется пара зна­чений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

Новым для учащихся здесь является то, что решением уравнения с двумя переменными, в отличие от уравнения с одной переменной, является пара зна­чений переменных. Кроме того, учащиеся узнают, что уравнения с двумя пере­менными, имеющие одни и те же решения, называют равносильными; уравне-¹ ния, не имеющие решений, также считают равносильными.

Уравнения с двумя переменными обладают такими же свойствами, как и уравнения с одной переменной.

1. если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, из- i менив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;

2. если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же от- ¹ личное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данном}⁷.

Учащиеся знакомятся и с графиком линейного уравнения с двумя пе­ременными. Они узнают, что каждая пара чисел, являющаяся решением урав- i нения с переменными хиу, изображается в координатной плоскости точкой, координатами которой служит эта пара чисел (абсциссой служит значение х, а ординатой - значение^). Все такие точки образуют график уравнения.

Опр. J. Графиком уравнения с двумя переменными называется множество \ всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.

После этого учащиеся выясняют, что представляет собой график урав­нения Зх + 2у — 6. Выражают из уравнения;/, получают у = -1,5х + 3. Форму­лой у = -1,5х + 3 задается линейная функция, графиком которой служит пря­мая. Так как уравнения Зх + 2у = 6иу-~ 1,5х + 3 равносильны, то эта прямая является и графиком уравнения Ъх + 2у~ 6.

С помощью таких же рассуждений можно показать, что графиком лю­бого линейного уравнения с переменными х и у, в котором коэффициент при уФ 0, является прямая.

Если в линейном уравнении коэффициент при у = 0, а коэффициент при х Ф 0. то графиком такого уравнения также является прямая. Например, 2х + 0у = 12. Его решениями служат все пары чисел (х; у), в которых х = 6, а у - любое число. Графиком этого уравнения является прямая, проходящая через точку (6; 0) и параллельная оси OY.

Итак, учащиеся делают вывод, что графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не ра-

при нулю, является прямая. Затем рассматривается случай, когда в линейном урц&нении оба коэффициента при переменных равны нулю, то есть уравне­ние ах + by = с имеет вид: Ох + Оу = с\ При с = 0 любая пара чисел является решением этого уравнения, а его графиком - вся координатная плоскость. При

• 1 0 уравнение не имеет решений и его график не содержит ни одной точки.

Существенно новым представлением, которое получают учащиеся при Изучении этой темы, как уже отмечалось, является представление о том, что ранением уравнения с двумя неизвестными служит не. число, а упорядо­ченная пара чисел.

Вторым представлением, резко расширяющим кругозор учащихся, слу- мп то, что множество решений уравнения с двумя неизвестными, как привило, бесконечно и его изображение на координатной плоскости - не- ытюрая линия.

Изучение этой темы может рассматриваться как определенный мостик,

| называющий понятие функции и понятие уравнения с двумя неизвестными:

1. одной стороны, уравнение с двумя неизвестными, в котором одно из них ныражено через другое, по виду формулы совпадает с функцией; с другой, - подмывается, что один и тот же геометрический образ является и графиком уравнения и графиком функции. Эти представления в дальнейшем уточняют-

• и учащимися, переосмысливаются.

Замечание. Понятие системы уравнений в курсе школьной математики ггрого определено быть не может из-за отсутствия в нём понятия конъюнк­ции. Однако для развития теории уравнений достаточно, оказывается, фор­мировать представление о системе уравнений косвенным образом, посредст- иом указания на цель - нахождение общих решений двух данных уравнений. <>бщее понятие о системе уравнений в этот момент и необязательно вводить.

• )бщее понятие формируется постепенно на основе ведущего частного случая системы линейных уравнений.

Основное содержание темы состоит в изучении двух алгебраических спо­собов решения таких систем (способа подстановки и способа сложения), графи­ческого способа решения и исследования систем этого класса.

Алгоритмы решения систем линейных уравнений намного сложнее алго­ритма решения линейного уравнения с одним неизвестным. Поэтому при их изу­чении следует четко указывать последовательность операций, используемых в н’их алгоритмах, а также провести изучение каждого действия.

При изучении данной темы используются геометрические представления, которые не только могут пояснить изложение, но имеют важное самостоятельное значение. Наиболее значимым является их применение для проведения исследо- вания данного класса систем.

4. Методика изучения квадратных уравнений

Для этой темы характерна большая глубина изложения и богатство свя­зей, устанавливаемых с её помощью в обучении, логическая обоснованность изложения. Поэтому она занимает особое положение в линии уравнений и

неравенств. К изучению этой темы учащиеся приступают, И1У_{ЮЯ уже 0П}р_еде. ленный опыт, владея достаточно большим запасом алгебраи^_{еских и 0}g_u._e4 математических представлений, понятий, умений.

Во всех современных школьных учебниках алгебры _{и 0}б_ъсм

понятия квадратного уравнения одинаковы. Понятие квадрат^_ого ур_{авнения} вводится посредством явного определения, поэтому необхо^_{имо 0}р_Гани3(> вать работу по усвоению его формальных признаков.

В учебнике III А. Алимова и др. «Алгебра 8» (М., 2003) _{рассмахривает-} ся текстовая задача: «Основание прямоугольника больше выс_{оты на} ю _{см а} его площадь равна 24 см². Найти высоту прямоугольника».

При решении этой задачи учащиеся получают уравнение X² + 10х-24 = 0,

которое называют квадратным, так как в левой его части сто_{(ИТ кваД}р_атньг^ трехчлен. Затем дается определение.

Опр. 1. Квадратным уравнением называется уравнение ах² + Ьх + с ⁼ 0, (1)

где а,Ь,с- заданные числа, аф 0, х - неизвестное.

Необходимо акцентировать внимание учащихся на то, _л/~_от,_{ттоттттл}

24iu уравнение

другого вида (например, х + 10х = 24) уже не является квадр_{атным> Иногда} учащиеся ошибочно считают, что уравнение называется квадр_{атным П0Т0М}у что неизвестное х стоит в квадрате, и к квадратным относят УР^_вненИя _вида

-±-Зх-1=0.

X

Для усвоения понятия квадратного уравнения и предупреждения по­добных ошибок целесообразно предлагать упражнения на р_{аспознавание} объектов, принадлежащих данному понятию.

Последовательность изучения материала, относящегося _{к квад}р_атным уравнениям в разных учебниках различна. Например, по учебш_[ку щ д д_ди_ мова и др. «Алгебра 8» (М.. 2003) последовательность следующ^. ^{: !}

1. Квадратное уравнение и его корни; уравнение х² = d, _{георема 0 кор}„ нях этого уравнения.

Вывод формулы корней квадратного уравнения может быть осуществ­лен несколькими различными способами: сразу для общего или сначала для приведенного квадратного уравнения, сведением к уравнению х - а - 0 или к = а. Но в любом случае используется выделение полного квадрата в трех­члене ах² + Ьх + с, сводящее уравнение к двучленному. Выделение последо­вательности шагов, приводящих к решению квадратных уравнений и состав­ляющих его алгоритм, проводится сначала на конкретных примерах. Сооб­щается, что при решении квадратного уравнения по формуле надо поступить следующим образом:

1. вычислить дискриминант!) и сравнить его с нулем;

2. если D > 0 или D = 0, то следует воспользоваться формулой корней, ес­ли же D < 0, то записать, что корней нет.

Необходимым этапом при выводе формулы корней квадратного урав­нения служит исследование, выявляющее три возможных случая: отсутствие корней, наличие одного или двух корней. При этом вводится дискриминант уравнения. В результате исследования формулируется вывод: «Если D < 0, то квадратное уравнение ах² + Ьх + с = 0 не имеет действительных корней; если

b

D = 0, то имеется один корень, равный х = ; если D > 0, то уравнение имеет

-Ъ± Jb² - 4ас два корня: xi ₂ = - ».

2. а

Учитывая этот вывод, решение конкретных квадратных уравнений про­водится по указанному выше алгоритму: сначала вычисляется дискрими­нант, сравнивается с нулем, и если он неотрицателен, то применяются фор­мулы для нахождения корней.

В ряде учебников, кроме основной формулы для корней квадратного уравнения ах² + Ьх + с = 0, приводятся ещё формулы корней уравнения х + +/>х + q = О или х² + 2рх + q = 0. Иногда использование этих формул уп­рощает вычисления, поэтому их полезно тоже рассмотреть.

При изучении темы «Квадратные уравнения» рассматриваются и не­полные квадратные уравнения. Обычно они изучаются перед выводом кор­ней общего квадратного уравнения. Хотя различные виды неполных квад­ратных уравнений имеют разные алгоритмы решения, при их изучении необ­ходимо показать, что общая формула корней применима и для этих случаев.

Важным моментом в изучении квадратных уравнений является рас­смотрение теоремы Виета. Сложность освоения теоремы Виета связана с несколькими обстоятельствами. Прежде всего, требуется учитывать различие прямой и обратной теоремы. В прямой теореме Виета даны квадратное урав­нение и его корни; в обратной - только два числа, а квадратное уравнение появляется в заключении теоремы. Учащиеся часто совершают ошибку, обосновывая свои рассуждения неверной ссылкой на прямую или обратную теорему Виета.

Например, при нахождении корней квадратного уравнения подбором ссылаться нужно на обратную теорему Виета, а не на прямую, как часто дела­ют ученики. Для того чтобы распространить теоремы Виета на случай D = О,

надо условиться, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных корня. Это удобно при разложении квадратного трехчлена на множители.

Владение теорией квадратных уравнений существенно расширяет воз­можности решения уравнений методами, изучаемыми в курсе алгебры К квадратным уравнениям сводятся дробно-рациональные, биквадратные и алгебраические уравнения. Сюжеты текстовых задач также становятся бо­лее разнообразными, возрастает сложность их перевода на язык математи­ки. В целом можно сказать, что освоение темы «Квадратные уравнения» поднимает учащихся на качественно новую ступень овладения содержанием школьного курса математики.

4. Особенности изучения неравенств

Тема «Неравенства» изучается в 8 классе. До этого учащиеся в 5-6-х классах знакомятся со строгими и нестрогими числовыми неравенствами, со знаками, которые используются для их обозначения >, <, >, <, с двойными числовыми неравенствами, отмечают на координатной прямой все числа, ко­торые меньше (больше) данного числа. В 6 классе учащиеся выполняют пер­вые упражнения типа: «Какие натуральные числа являются решениями нера­венства: а) х < 4; б) 5 < х < 9; в) 3 < х < 5». Позже встречаются и более слож­ные упражнения типа: «Найдите целые решения неравенства: а) 3 < 1x1 < 7;

б) 5- < 1х|< 10,1».

3

В 8 классе начинается систематическое изучение неравенств. Распо­ложение этой темы в разных учебниках различно, например, в учебниках Ш. А. Алимова и др. «Алгебра 8» (М.,2003) и Ю. Н. Макарычева и др. «Ал­гебра 8» (М., 2002) - это первая тема, а в учебнике А. Г. Мордковича «Ал­гебра 8» (М., 2000) - последняя тема. Содержание и последовательность из­ложения этой темы у разных авторов также имеет свои особенности,

В учебнике Ш. А. Алимова и др. «Алгебра 8» последовательность изу­чения вопросов, относящихся к неравенствам следующая:

1. Положительные и отрицательные числа (здесь рассматриваются свойства чисел).

2. Числовые неравенства.

3. Основные свойства числовых неравенств.

4. Сложение и умножение неравенств.

5. Строгие и нестрогие неравенства.

6. Неравенства с одним неизвестным.

7. Решение неравенств.

8. Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки.

9. Решение систем неравенств.

10. Модуль числа. Уравнения и неравенства, содержащие модуль.

Остановимся кратко на введении понятия линейного неравенства с од­ним неизвестным. Так же как и уравнение, неравенство этого типа вводится путем рассмотрения задачи: «Из двух городов отправляются одновременно

нйвстречу друг другу два поезда с одинаковыми постоянными скоростями. С никой скоростью должны двигаться поезда, чтобы через 2 ч после начала движения сумма расстояний, пройденных ими, была не менее 200 км?».

В ходе решения получают неравенство 2х + 2х > 200, отсюда 4х > 200, х > 50.

Учащимся сообщается, что это пример линейного неравенства с одним неизвестным. Неравенства ах> Ь, ах < Ь, ах> Ь, ах <Ь, в которых а и Ь - за­лип иые числа, а х - неизвестное, называют линейными неравенствами с од­ним неизвестным.

«Решением неравенства с одним неизвестным называется то значение Неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство. Решить неравенство - это значит найти все его решения или установить, что их нет».

В изучении этой темы можно выделить три особенности.

1. Как правило, навыки решения неравенств, за исключением квадрат­ных, формируются на более низком уровне, чем уравнений соответствующих классов. Эта особенность имеет объективную природу: теория неравенств сложнее теории уравнений. Но в целом можно считать, что содержательная с горона неравенств, возможности их приложений от этого не страдают.

2. Большинство приёмов решения неравенств состоит в переходе от данного неравенства а > b к уравнению а - Ъ и последующем переходе от найденных корней уравнения к множеству решений исходного неравенства. Такого перехода не производится лишь при рассмотрении линейных нера­венств, где в нем нет необходимости из-за простоты процесса решения таких неравенств. Эту особенность необходимо постоянно подчеркивать с тем что­бы переход к уравнениям и обратный переход превратились в основной ме­тод решения неравенств; в старших классах он формализуется в виде «метода интервалов».

3. В изучении неравенств большую роль играют наглядно-графические средства.

Первая особенность может быть истолкована так: при выполнении од­ного и того же числа упражнений техника решения неравенств какого либо класса будет ниже, чем уравнений соответствующего класса; следовательно, если имеется необходимость формирования прочных навыков решения нера­венств, то для этого требуется большее число заданий.

Вторая особенность объясняет то, что темы, относящиеся к неравенствам, расположены после тем, относящихся к соответствующим классам уравнений.

Третья особенность говорит о том, что изучение неравенств зависит от качества изучения функциональной линии школьного курса (построение гра­фиков и графическое исследование функций).

Перечисленные особенности показывают, что изучение предшествую­щего материала сильно влияет на изучение неравенств. Поэтому роль IV эта­па (этапа синтеза) в изучении неравенств особенно возрастает.

Эти особенности можно проиллюстрировать на материале квадратных неравенств. В школьном курсе математики изучаются только неравенства основных классов, неравенства, сводящиеся к ним, встречаются редко.