II группа

2. Решить задачи, заменив предварительно их требования новыми так, чтобы из них вытекали первоначальные требования.

   1. Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

Указание к решению. Докажите, что угол между биссектрисами верти­кальных углов - развернутый.

2. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О. Докажите, что если отрез­ки АС, СВ, 13D и AD равны, то прямые АВ и CD перпендикулярны.

Указание к решению. Докажите, что луч АВ является биссектрисой угла CAD, а луч CD - биссектрисой угла АСВ.

3. Два отрезка АВ и CD пересекаются в точке О, которая является сере- диной каждого из них. Докажите равенство треугольников ACD и ВОС.

Указание к решению. Докажите, что АС = BD и СВ ~ AD.

4. Постройте две окружности, каждая из которых проходит через центр другой. Сколько общих точек имеют эти окружности?

Указание к решению. Найдите точки пересечения окружностей, каждая из Которых проходит через центр другой.

5. Если две окружности с центрами 0\ и 0₂ касаются друг друга в точке А/ внешним образом, то 0\М+ М0₂ = 0\0₂. Докажите это.

Указание к решению. Докажите, что точки 0\, 0₂ и М принадлежат одной прямой.

Методику работы со второй группой упражнений проиллюстрируем на примере 7.1. После выяснения условия и требования задачи, выполнения ри­сунка, следует акцентировать внимание учащихся на замене требования задачи новым так, чтобы из него следовало первоначальное.

Учитель. Откуда следует, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой? Каким предложением можно заменить требование задачи?

Ученики. Доказать, что угол между биссектрисами вертикальных углов - рптернутый.

Далее следует этап дальнейшего поиска решения задачи, который за­винчивается выяснением способа решения: доказательством того, что МОК = 180°, где лучи ОМ и ОК - биссектрисы вертикальных углов АОВ и | ()1 \ с опорой на свойство смежных углов.

Запись решения.

/.МОК = /МОА + ZАОС + /СОК = - /АОВ + /АОС + - / COD =

2 2

■ АОВ+ /АОС= 180°.

Выполнение следующей группы упражнений ориентировано на овладе­нии действием выведения следствий из данных условий. Суть его заключается в ныдолбмии утверждений, являющихся следствием данных. Овладение этим кПп нием предполагает умение видеть различные связи между объектами, дан­ными в условии задачи.

3. группа

8. Точка С лежит между точками А и В, г, точка X - между точками А и С Докажите, что точки А, В, С иХ лежат на одной прямой. Сформулируйте все утверждения, полученные в процессе решения этой задачи.

Ответ. 1) А, В, С лежат на одной прямой АС; 2) А, X\ С лежат на одной прямой^ С.

8. Точки А, В, С не лежат на одной прямой. Что следует из этого?

Ответ. 1 )АВ + ВС *АС; 2) АС + СВ ФАВ; 3) ВА + АС ФВС.

По мере продвижения учащихся в изучении геометрии число сформули­рованных следствий может возрастать. Так, учащиеся могут отметить и такие следствия: около треугольника ABC можно описать окружность; в треугольник ABC можно вписать окружность.

8. Назовите различные следствия из следующих данных:

а) известно, что концы отрезка АВ лежат на отрезке СД но не совпадают с точками С и Д

б) на прямой точка А расположена левее точки Д а точка В - левее точки С.

Ответ, а) 1) Все точки отрезка АВ лежат на отрезке СД 2) А лежит меж­ду С и Д 3)В лежит между С и Д 4) СА < CD и т. д.

б) 1 )АВ + ВС=АС; 2) АВ<АС и т. д.

8. Даны окружность с центром в точке О и радиусом R и точка А. Из­вестно, что ОА > R. Что отсюда следует?

Ответ. 1) А не лежит на данной окружности; 2) Прямая ОА - секущая и т.д.

8. Сторона АВ треугольника ABC является диаметром окружности, а сторона АС- хордой. Что из этого следует?

Ответ. 1) Треугольник ABC - прямоугольный; 2) Треугольник ВОС - равнобедренный {О - центр окружности) и т. д.

При выполнении этих упражнений внимание учащихся акцентируется на выводимых следствиях, что прямо подчеркивается в требовании задачи. Рас­смотрим, например, упражнение 10.

Из условия и определения отрезка следует, что точки А я В лежат между точками С и D. Из последнего утверждения следует, что СА + AD ~ CD, СВ + BD = СД откуда получаем: СА < CD, СВ < CD. Из условия и свойства принад­лежности точек и прямых на плоскости имеем, что прямые АВ и CD совпадают.

Запись решения может быть следующей:

1. точки А и В лежат между точками С и D (определение отрезка);

2. СА < СВ (свойство величин);

3. прямые АВ и CD совпадают (свойство принадлежности точек и прямых).

При выполнении этой группы упражнений можно предлагать учащимся

составление задач, используя данные утверждения и их следствия. Примером такой задачи может являться следующая. Концы отрезка АВ лежат на отрезке CD. Докажите, что прямые АВ и CD совпадают.

В процессе поиска решения задачи часто приходится осуществлять не только выведение следствий, замену требования задачи новым, из которого следует первоначальное, но и самостоятельно формулировать промежуточную задачу. В упражнениях следующей группы учащимся предлагалось самостоя-

тельно подобрать требование (вопрос) к предложенному набору данных и ре­шить полученную задачу.

3. группа

8. Известно, что АВ = 8 см, ВС = 4 см, АС ~ 12 см.

Предполагаемые вопросы:

1. Лежат ли точки А, В, С на одной прямой?

2. Лежит ли точка В между точками А и С ?

3. Лежит ли точка А между точками В и С ?

8. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена ме­диана ВМ. На ней взята точка К.

Предполагаемые требования:

1. Докажите, что треугольники АВК и СВК равны.

2. Докажите, что треугольники АКМ и МСК равны.

3. Докажите, что АК - КС и т. д.

8. Два внешних угла треугольника равны 100° и 150°.

Предполагаемые вопросы:

1) Найдите третий внешний угол.

2) Найдите сумму внутренних углов треугольника, не смежных с ка­ждым из данных.

3. Что можно сказать о каждом внутреннем угле треугольника?

4. Найдите все углы треугольника.

При решении задач с использованием чертежа часто приходится мыслен­но выделять (вычленять) отдельные элементы чертежа и сопоставлять их друг с другом. Приведем примеры упражнений такого типа.

8. На отрезке АВ взята точка С. Постройте всевозможные лучи, задавае­мые этими точками. Среди них назовите пары совпадающих лучей, пары до­полнительных лучей.

9. Имеется четыре луча с общим началом. Сколько углов можно задать с помощью этих лучей?

В последней серии упражнений предусматривается формирование умения составлять задачи. Однако прежде чем составить задачу, учащиеся должны са­ми сформулировать требование, для чего необходимо из данных получить не­которые сведения.

Рассмотрим, например, упражнение 13. Из условия задачи следует, что точка В лежит между точками А и С, а, следовательно, точка С не лежит между точками А и В. Требуемые задачи могут быть следующими:

.1) Известно, что АВ - 8 см, ВС = 4 см, АС =12 см. Лежат ли точки А, В, С ни одной прямой?

2. Известно, что АВ = 8 см, ВС = 4 см, АС = 4 см. Лежит ли точка В между точками и С?

Аналогичная работа проводится и с другими упражнениями.

Приведенные упражнения можно представить в ходе лекции на экране с помощью мультимедийного проектора.

Вопросы и задания