1. Различные подходы к формированию понятия равенства фигур

В учебно-методической литературе изложены различные подходы к вве­дению понятия равенства фигур.

! подход. Вначале дается определение равных (конгруэнтных) фигур, за­тем рассматривается равенство различных видов фигур (треугольников, четы­рехугольников и т. д.). Известны различные модификации этого подхода.

1. Равенство фигур определяется через отображение фигуры на фигуру, инею через движение (перемещение) плоскости. Первый путь реализован в учебнике геометрии под ред. А. Н. Колмогорова, второй - в учебнике под ред. I Д. Скопеца. Отображение, как правило, не определяется; содержание этого понятия раскрывается на конкретных примерах. Опыт работы по учебнику под ред. А. Н. Колмогорова показал, что реализация этого пути вызывает большие фудности у учащихся.

2. Равенство фигур определяется через наложение. Причем, иногда со­держание понятия наложения считают интуитивно ясным и не раскрывают его (иаиример, Киселев А. П. Элементарная геометрия. - М., 1980). Иногда понятие ни поженил относят к основным, а поэтому его содержание и связь с другими неполными понятиями описывают с помощью аксиом. Этот вариант реализован н учебнике геометрии JI. С. Атанасяна и др.

II подход. Определению равенства фигур предшествует введение равен- < I ил отрезков, углов и треугольников. Два отрезка называются равными, если они имеют одинаковую длину. Два угла называются равными, если они имеют (ишцые градусные меры. Треугольники называются равными, если у них соот­ветствующие стороны равны и соответствующие углы равны.

Равенство фигур определяется через движение: две фигуры называются ршжыми, если они движением переводятся одна в другую. Для указанного спо-

В школе принята также классификация треугольников по углам: остро­угольные, прямоугольные и тупоугольные.

Изучение треугольников в соответствии с программой распределено по всем классам основной школы. Курс 7 класса - это, по существу, геометрия треугольника.

Треугольник - одна из основных «рабочих» фигур изучаемого в школе курса планиметрии. Установление цепочек равных треугольников - широко ис- иользуемый прием доказательства различных геометрических утверждений.

Равенство треугольников традиционно изучается в курсе планиметрии. < )днако трактовка этого понятия, методика его введения разные для различных учебников. Так, в учебниках А. Н. Колмогорова и др. «Геометрия 6-8» (М., 1979) и JI. С. Атанасяна и др. «Геометрия 7-9» (М., 2003) равные треугольники - част­ный случай равных фигур, то есть фигур, которые можно совместить наложени­ем. Такие понятия, как «совмещение» и «наложение», считаются интуитивно по­ни шыми учащимся и в курсе не определяются.

Иной подход, как уже было сказано, реализован в пробном учебнике Д. Д. Александрова и др.. Здесь равными называются треугольники, у которых гоошетственные стороны равны. Такая «экономия» свойств, определяющих ранные треугольники, ведет к сокращению числа признаков равенства тре­угольников. С другой стороны, такой подход не позволяет ввести общее поня­ли* равных многоугольников.

Будем рассматривать методику изучения равенства фигур по действую­щим учебникам А. В. Погорелова и Л. С. Атанасяна и др., хотя методические рекомендации по формированию понятий, по организации работы с теоремой применимы и к изучению этой темы по другим учебным пособиям, в частности мо учебнику А. Д. Александрова и др. (Подробно этот вопрос рассмотрен в умгЛппм пособии Г. И. Саранцева [10].)

I. Учебник геометрии А.В. Погорелова

Характерным для учебника А.В. Погорелова является наличие в нем ак- ишмы существования треугольника, равного данному (которая, по существу, WHM'IVM эквивалентом аксиомы подвижности плоскости).

11опитие равных отрезков (углов) можно ввести здесь следующим обра­ти I (ичертить на доске несколько отрезков, среди которых должны быть и та- Mtr, котрыс имеют равные длины, измерить длины отрезков, отметить, что от- |имни имеющие одинаковую длину, называются равными.

(>п ре деление равных отрезков простое и поэтому не требуется большой рабо- «м ш 01 о усвоения. Для этого достаточно выполнить следующие упражнения:

1. Установить с помощью линейки, какие из изображенных на рисунке И1р«ммж раины (рисунок дан).

2. 11 «нес гно, что отрезок АВ равен отрезку CD. В каком соотношении на- и м их длины?

11ри ииедепии понятия равных треугольников следует начертить несколь- iMi ip$* vi он mi икон, измерить их стороны и углы, выделить треугольники с рав­ными м нами и сторонами, это равные треугольники. Затем следует предложить н*И*Н1'ним на усвоение существенных свойств понятия, в частности, на усвое­нии нншги равенства треугольников.