§ 5. Счетные множества

Поскольку n e N, M_n ={1,2,3,..., n }c= N, то N > n.

Итак, N - бесконечная мощность. Она обозначается a или IC₀ (читается: алеф-нуль, алеф IC - это первая буква древнееврейского алфавита, аналог a греческой).

Таким образом, все множества A~N имеют эту мощность.

Определение

Множество, эквивалентное множеству N , называется счетным множеством.

Из самого определения имеем, что A = a тогда и только тогда, когда существует биекция f : N « A. По-другому можно сказать так: множество A счетно тогда и только тогда, когда все его элементы можно перенумеровать всеми натуральными числами. Это дает нам и инструмент для установления счетности множеств. Изучим простейшие свойства счетных множеств.