§ 2. Проблемы построения меры

Понятие меры множеств есть обобщение геометрических понятий длины отрезка, площади фигуры на плоскости, площади поверхности в пространстве, объема тела в пространстве, даже гиперобъема гипертела в Rⁿ. Понятие меры множества необходимо распространить на широкий класс множеств. Скажем, в геометрии измеряют длины отрезков, а о «длине» интервала как-то не принято говорить. Необходимо каждому ограниченному множеству X с Rⁿ (а далее, и более общих множеств) поставить в соответствие некоторое вещественное число /т(X) - его меру. При этом, естественно,

требуется выполнение некоторых аксиом. В зависимости от «жесткости» этой системы аксиом различают два случая, две задачи.

I. «Трудная» задача теории меры.

М.1. Неотрицательность. VX с Rⁿ, X - ограничено

^m( X )>0.

М.2. Нормированность. E = [0;1]ⁿ ^ m(E) = 1. М.3. Инвариантность. X~ Y^m (X) = m (Y). М.4. Полная аддитивность X = и X.,I< IC₀,iФ j^ X.n X,. =0

ieI ^{0 13}

влечет Sm(X_t) = m(X).

ieI

Теорема 1

«Трудная» задача теории меры неразрешима даже в пространстве R¹ .

Эта теорема вытекает из существования ограниченных неизмеримых множеств в R . Существует дизъюнктное11 '2'2

11 '2^;2

3 3 '2^;2

Получаем 1 <s + s + s +... <+¥ . А это невозможно. В связи с этим рассматривается более легкая проблема. II. «Легкая» задача теории меры.

Условие М4 полной (не более чем счетной) аддитивности заменяется условием конечной аддитивности.

m

М 4*. X = U X, iФ j^ X П X,- =0 .

i=1 ^j

m

Тогда m(X) = £m(X).

i =1

Теорема 2 (С. Банах)

В пространствах R и R² (прямая и плоскость) «легкая» задача теории меры разрешима, но не однозначно.

Теорема 3 (С. Хаусдорф)

В пространстве Rⁿ при n > 3 «легкая» задача теории меры неразрешима.

Примем эти теоремы без доказательства. Трудность Rⁿ, n > 3 состоит в том, что группа движений в Rⁿ, n > 3 намного обширней, чем в R и R², и получить инвариант этой группы (аксиома М 3) намного труднее

.