Глава 1. Измеримые множества § 1. Движения в пространстве Rn

Определение

Движением в пространстве Rⁿ называется преобразование j: Rⁿ ® Rⁿ, сохраняющее расстояние между точками: " A, B е Rⁿ ^ р( A, B ) = r(j( A), j( B)).

Имеется в виду эвклидова метрика. Таким образом, движение есть изометрия. Движения имеют очень важное свойство - взаимной однозначности (инъективность).

Теорема 1

Движение есть инъективная функция. Доказательство

Обозначим j( A) = A', j( B) = B. Если A Ф B, то

r(A, B)> 0 ^ r( A, B) = r(A, B)> 0 ^ Aф B. Теорема доказана.

Примерами движения в пространстве R¹ (прямая), а нам нужен, в первую очередь, именно этот случай, будут:

1. Параллельный перенос (сдвиг), j( x) = x + d.

2. Зеркальное отображение (симметрия относительно т. О), j(^x) = ^{- x}.

Это и есть основа всех движений в R. Теорема 2

Каждое движение в R есть либо сдвиг, либо зеркальное отображение, либо их суперпозиция j( x) = ±x + d.

Доказательство

Обозначим р( 0) = d. Тогда

"xe R ^ |р( x)-d = |x ^р( x) = ±x+ d. Теорема доказана.

Теорема 3 (О свойствах движения)

При движениях в R выполняются условия:

1. Интервал (a, b) переходит в интервал (a, b'), где

a =р(a), b = р(b).

2. Ограниченные множества переходят в ограниченные.

3. Замкнутые множества переходят в замкнутые.

4. Открытые множества переходят в открытые.

Эти свойства очевидны из формулы движения р(x) = ±x + d.

Теорема 4

Функция, обратная к движению, есть движение. Действительно, если y = ±x + d, то x = ±y + d.

Определение

Если множества A, B получаются друг из друга движением, то они называются конгруэнтными между собой. Запись A ~ B (есть и другие обозначения). Очевидны свойства конгруэнтности: 1°. Рефлексивность: "A е R[ A ~ A].

2°. Симметричность: "A, B е R[ A ~ B ^ B ~ A]. 3°. Транзитивность: "A, B, C е R[ A ~ Ba B ~ C ^ A ~ C]. Отсюда получаем, что конгруэнтность множеств есть эквивалентность на булеане b (R).

Движения имеют большое значение в теории меры. Перейдем теперь к постановке основных задач.