§ 1. Измеримость функции

Пусть Х^0, X е R, на X задана вещественная функция f. В некоторых точках из X допускаются и бесконечные значения (правила действия с несобственными вещественными числами (-¥ ) и (+ ¥ ) - обычные). Как уже мы рассматривали ранее, X( f > a) означает множество {xe X: f(x) > a}, ae R. Аналогичный смысл имеют X( f > a), X( f < a), X( f < a). Теперь введем понятие измеримой функции. Определение

Функция f, заданная на множестве X, называется измеримой, если выполнены условия:

1. Множество X измеримо.

2. Для всех a e R множества X( f > a) измеримы.

Пример

f (x) = const на X измерима.

Действительно, пусть f (x) ° b. Тогда X( f > a) =

X и 0 - измеримы. Свойства измеримых функций:

1⁰. Если mX = 0 , то каждая f на X измерима.

Yе X ^ mY = 0.

3 . Пусть X = u X_i, I < IC₀, X_i измеримы, f измерима на

BI

всех X_t. Тогда f измерима на X.

Действительно, X( f > a) = u X_i( f > a) - измеримо.

BI

Введем теперь новое, очень важное понятие. Определение

Пусть на множестве X заданы функции f и g. Они называются эквивалентными на X, если mX( f Ф g) = 0. Запись: f ~ g.

Пример

Г1; x е Q,

Функция Дирихле Di(x) = < эквивалентна нулевой

[0; x£ Q,

функции на данном промежутке, ибо X(Di (x) Ф 0) есть

некоторое множество рациональных чисел, Q<_{a ь>} - счетно и

имеет меру нуль.

Очевидно, эквивалентность функций есть отношение эквивалентности.

В этой терминологии эквивалентность функций означает их равенство почти всюду на Х. Продолжим изучение свойств измеримых функций.

4⁰. Если f измерима на X, f ~ g, то g измерима на X. Действительно, обозначим Y = X( f Ф g), mY = 0, т. е. Y измеримо. Пусть D = X \ Y, D - измеримо. На множестве D f ° g и g измерима на D. Тогда g измерима на Du Y = X .

5⁰. Если f измерима на X, то "а е R измеримые множества: X( f > a), X( f = a), X( f < a), X( f < a).

Действительно, измеримость указанных множеств следует из соотношений:

^{X (f} > ^a)=0 ^X [^f >^{a -} n J^;

X(f = a) = X(f > a)\ X(f > a); X(f < a) = X\ X(f > a); X( f < a) = X \ X( f > a) и свойств измеримых множеств.

В определении измеримой функции можно использовать любое из 4 множеств:

X( f > a), X( f > a), X( f < a), X( f < a), поскольку они выражаются через другие из них и измеримые множества.