§1. Метрические пространства

Основные понятия и результаты анализа фактически основываются на понятии окрестности данной точки x₀. Окрестность обычно понимается как e - окрестность, т. е. множество {x: |x-x₀| <e} на прямой. А |x -y₀| на прямой есть

расстояние между точками x₀ и y₀: |x - y₀| = р (x₀, y₀).

Итак, основой классического анализа на прямой есть это расстояние между точками. У него еще есть название «метрика». Метрические свойства - это свойства, связанные с расстоянием между точками. Отсюда следует вывод: в более общих множествах тоже можно ввести основные понятия анализа, если в них имеется возможность определить эту метрику. Так мы приходим к концепции метрического пространства. Требования к метрике (аксиомы) получаются из свойств расстояния на прямой. Отбирают необходимый минимум этих свойств и берут их в качестве аксиом. Перейдем к точным определениям. Пусть X Ф0 .

Определение

Метрикой на множестве X называется функция р : X² ® R, удовлетворяющая аксиомам: М1. Неотрицательность:

"х, уе X[р( х, у)> 0] .

М2. Отделимость:

"х, уе X[р (х, у) = 0 о х = у] .

М3. Симметричность:

у^{е X [}р( у ^х) = р(^x, у) ] . М4. Неравенство треугольника: "х, у, zе X [р (х, z) < р (х, у) + р (у, z)] .

Множество с заданной на нем метрикой, т. е., фактически, упорядоченная пара, (X, р) называется метрическим

пространством. Понятно, что задавая на X различные метрики, мы получаем различные метрические пространства. Их следует и обозначать по-разному.

Примеры:

1. X = R, р(х,у) = |х-у ;

2. X = C, р(х,у) = х-у;

3. X = Rⁿ,

^х =( ^ ^x₂^,...^{, х}п)^, у (Уl^, у₂^,...^, уп)^, р(^х, у) = *Е (^хк^- ук )².

V к=1

Эта метрика называется эвклидовой, а Rⁿ с этой метрикой называется п - мерным эвклидовым пространством и обозначается Eⁿ или Rn.

1. X = Rⁿ, p(x,y) = ^\x_k -y_k\. Это метрическое

k=1

пространство обозначается R1ⁿ.

2. X = Rⁿ, p (x, y) = max |x_k - y_k \. Это пространство

k=1+n

обозначается R0ⁿ.

X = С[a,b] (функций x(t) заданных и непрерывных при tе[ a, b] p( x, y) = max x(t)- y(t) . Это пространство так и обозначается: С[a, b]

.

и

4. X = С[a,b], p(x,y):

аметрика на С[a, b], а пространство обозначается С₂ [a, b] или С_Е [ a, b].

b

5. X = С[a,b], p(x,y) = J |x(t)-y(t)|dt.

a

Эта метрика называется чебышевской (в честь Пафнутия Львовича Чебышева, 1821-1894). Пространство обозначается C_L [ a, b].

Ограничимся этими примерами. В этой главе мы будем заниматься исключительно пространством Eⁿ и обозначать его будем часто просто Rⁿ , потому что метрика всюду эвклидова.

Обобщением понятия e - окрестности точки на прямой в общих метрических пространствах является понятие открытого шара с центром в точке x₀ е X и радиусом e₀ > 0 :

o

Ш(х₀,е) ={хе Х: р(х,х₀) <e}.

Аналогично вводится замкнутый ша

р

Ш(х₀,e) = {хе Х: р(х, х₀) < e} и сфера:

S(^x0,e) = {xе X: р(x, x₀) = e}.

Окрестностью точки x₀ е X называется множество V (x₀),

o

содержащее некоторый Ш(х₀,е). В частности, такие шары и

Ш(х₀,е) также являются окрестностями точки x₀. Наличие

окрестностей дает возможность определить сходимость последовательностей в данном метрическом пространстве, т. е. по данной метрике:

^xn ^{— x}0 ^: " ^V(x0⁾³ⁿ0 ^{: n} > ⁿ0 ^ ^xn ^{е V(x}0⁾ .

o

Поскольку каждая окрестность содержит Ш (x₀,e), а

окрестность определяется через метрику, то

x_n ——— x₀ ^"e> 0$n₀ (e): n > n₀ ^ р( x_n, x₀) < e. Т. е. это

естественное обобщение сходимости последовательностей на прямой.

Две метрики р₁ и р₂ на X определяют, вообще говоря, различные сходимости. Говорят, что р₁ сильнее р₂, если x_n —^р—> x₀ ^ x_n —^р—> x₀. Т. е. чем сильнее метрика, тем меньше сходящихся по ней последовательностей. Метрики называются эквивалентными, р₁ ~ р₂, если

xn —^ x0 xn —^— Л0.

Пусть X - метрическое и одновременно линейное (векторное) пространство, вещественное или комплексное (Rⁿ - как раз такой случай).

X называется метрическим линейным пространством, если метрическая и линейная структуры согласованы между собой:

^xn ® ^x0^, Уп ® Уо ^ ^xn + Уп ® ^x0 + Уо ^,

¹ ® ^Л0^{, x}n ® ^x0 ^ ^1xn ® ^Л0^x0 ^,

^(xn^{, x}o^, Уп^, Уо^еХ, An^, V^R(Q⁾.

Метрика p называется инвариантной, если

"x, y, zе X[p(x + z, y + z) = p(x, y)].

В метрическом линейном пространстве всегда можно ввести инвариантную метрику, эквивалентную данной метрике.

Множество A с X называется ограниченным, если A с Ш(x₀, г), x₀ е X, г > 0, шар открытый или замкнутый.

Последовательность (x_n ) называется последователь­ностью Коши (Огюстен Луи Коши, A. L. Cauchy, 1789-1857, Франция) или фундаментальной или сходящейся в себе, если "e>0$n₀(e):k,l>п_о ^p(x_k,x_l)<e. Как и на прямой, каждая

сходящаяся последовательность фундаментальна. В общих метрических пространствах обратное не всегда верно. Если в X это верно, то есть каждая фундаментальная последовательность сходится в X к некоторой точке x_o е X, то X называется полным метрическим пространством.

Eⁿ полно, С_Е [a, b] - неполно.

Наличие окрестностей и сходимости позволяет определить специальные точки множеств, открытые и замкнутые множества, имеющие важнейшее значение в анализе. Мы будем рассматривать Eⁿ, обозначая его как Rⁿ, хотя многие результаты совершенно аналогично доказываются в общих метрических пространствах.