Теория функций действительной переменной конспект лекций

для студентов специальности 6.04030101 «Прикладная математика» всех форм обучения

Ответственный за выпуск зав. кафедры прикладной и вычислительной математики д-р. физ.-мат. наук, проф. Л. А. Фильштинский Редактор Т. Г. Чернышова Компьютерная верстка А. О. Кладиенко

Подписано к печати 17.04.2012, поз. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 13,72. Уч.-изд. л. 8,72. Тираж 30 экз. Зак. № Себестоимость издания грн к.

Издатель и изготовитель Сумский государственный университет, ул. Римского-Корсакова, 2, г. Сумы, 40007 Свидетельство субъекта издательского дела ДК № 3062 от 17.12.2007.

1Отрезки ранга 1. Заполненные: [ 2;3 ]. l₁ = 1. Включающие: [1;2 ], [ 2;3 ], [ 3;4 ], [ 5;6 ]. Ц = 4. Примем 5 = 10.

2. Отрезки ранга 2. Заполненные: [1,2;3,2]. L₂ = 2. Включающие: [1,1;3,3], [5,2;5,4]. Ц = 2,2 + 0,4 = 2,6.

3. Отрезки ранга 3. Заполненные: [1,16;3,24]. l₃ = 3,08. Включающие: [1,15;3,24 ],[ 5,29;5,31]. Ц = 3,09 + 0,02 = 3,11.

4. Отрезки ранга (n-1). Заполненные: [1,15 -10^-n;3,24]. 1_п = 3,09 + 10^-n. Включающие:

[1,15;3,24], [5,3 -10^-n;5,3 +10^-n ]. L_n = 3,09 + 2 * 10^-n. $ lim 1_n = 3,09, $ lim 1_n = 3,09. Итак,

n®+¥ n®+¥

mes* X = 3,09, mes*X = 3,09. Множество X измеримо по Жордану и mesX = 3, 09 .

Задача 2

Найти по определению m*X, m*X для X = ( 1;2] U { 5} . Решение

m*X = sup mFj. Исходя из структуры замкнутых множеств,

F, е X

на прямой можно брать F_i , состоящие из отрезков и точек.

2⁰. Если Y е X измеримо, то f измерима на X, f измерима на Y .

Действительно, Y( f > a) = X( f > a) П Y- измеримо.

3 Пусть X измеримо. Тогда Y( j_x > a):

измеримы.

9⁰. Если f и g измеримы на X, то X( f > g) измеримо.