IV. Дополнение к множеству

В некоторых задачах все рассматриваемые множества есть подмножества одного и того же множества U (универсальное множество).

Тогда U\ A называется: дополнение к A, запись cA или A. cA = {xe U: xe A}.

1. cU = 0 .

2. c0 = U.

3. c (cA) = A.

4. A е B & cA з cB.

5. A и cA = U.

6. законы де Моргана.

   AП cA = 0.

7. c(Aи B) = cAп cB

8. c(A п B) = cA и cB

(де Морган, 1806 - 1871, Шотландия, один из основателей математической логики)

.

Есть еще так называемая симметрическая разность множеств:

A A B = {x: (xe ALxe B)v( xe ALxe B)} . Очевидно, A A B = ( A \ B) u (B \ A) = (A u B) \ (A п B).

A A B

Часто возникает необходимость доказывать включение множеств: X с Y или их равенство: X = Y. При этом исходят из определений: X с Y o"xе X ^ xe Y, X = Y о X с YLY с X.

Пример

Доказать первый закон де Моргана: c (A u B) = cA п cB. Доказательство будет иметь 2 этапа.

1. xe c (A u B) ^ xe A u B ^ xe ALx e B ^ x e cA Л x e cB ^ x e cA п B.

2. 7 e cA п cB ^ y e cA Л y e cB ^ y e AL y e B ^ ^ y e A u B ^ y e c (A u B).

Таким образом, наши множества состоят из одних и тех же элементов, следовательно, они равны.

Далее мы перейдем к более специальным и сложным аспектам общей теории множеств.