§6. Функции ограниченной вариации

Проблема

Насколько сильно изменяются значения f (x) на [ a, b] ? Пусть функция f(x) задана на [a, b]. Выполним (T)- разбиение [a, b]: a = x₀ < Xj < ... < x_i+1 < ... < x_n-1 < x_n = b. Составим

b n-1

сумму V( f ;T) = ^ | f (x_i+1) - f (x_k )|. Эта сумма называется

^a k =0

вариацией или изменением f(x)на [a,b] по данному (T)-

b b b разбиению. Обозначим V( f) = sup V( f; T). Если V( f) < +¥, то

a (T) a a

f(x) называется функцией, ограниченной вариации на [a, b]

b

(ФОВ на [a, b]), а число V( f) называется полной вариацией,

a

или полным изменением f (x) на [ a, b]. ФОВ определил Жордан (С. Jordan). Множество ФОВ на [a, b] обозначается V [ a, b].

Если f(x) е V[a,b], то, по определению sup,

bb Ve>0 3(70): V( f;70)> V(f)-£,

aa

т. е. V ( f,7 ) можно сделать сколько угодно близкой слева к

a

b

полной вариации. Всегда V( f) > 0. Для f (x) = const, V( f) = 0 .

a

Понятие ФОВ можно распространять на [a, +¥). Если f(x)

b

есть ФОВ на [a, b] Vb > 0 и V( f) ограничены в совокупности,

a

+¥ b

то f (x) называется ФОВ на [a, +¥ и V(f) = sup V( f). Далее

^a b>a ^a

рассмотрим ФОВ на [ a, b] и их свойства. Свойства ФОВ на отрезке 1⁰. Монотонная функция есть ФОВ

► Пусть, например f(x) не убывает на [a, b]: f (x) ® V(T) имеем:

b n—1 n—1

V( f;T) = f(x_k+1)- f(x_k)| = 2(f(x_k+1)- f(x_k)) =

^a k=0 k=0

= (f(x)- f(x,)) + (f(A2)- f(x) + ...

b

... + ( f (xn) - f (xn-1)) = f (xn) - f (x>) = f (b) - f (a) ^ V( f ) = b- a

.

Аналогично для невозрастающей функции

b

V( f) = f (a) - f (b). В общем случае монотонной функции

a b

V( f) =| f(a) - f (b) | ◄.

a