§1. Непрерывность функций

Пусть функция f задана на множестве X с Rⁿ и принимает вещественные значения. Как всегда, V(x₀;d; X) означает d - окрестность точки x₀ в множестве X , т. е. множество {xе X: р(x.; x₀ )<d} . (Метрика всюду эвклидова, это каждый раз отмечать не будем). Рассмотрим три подхода к понятию непрерывности функции f в точке x₀.

Определение Коши (Огюстен Луи Коши, Cauchy)

Функция f называется непрерывной в точке X) по множеству X , если

lim f (x) = f (x₀), т. е.

^x® ЛЬ xeX

"e > 0$d(e) > 0: xе V(x₀; d; X) ^| f(x) - f(x₀) |< e . (С)

Определение Гайне (Э. Гайне, 1821-1881, HeineГермания).

Функция f называется непрерывной в точке x₀ , если

"(xn)neN с X: xn —-— x0 ^ f (xn) ® f (Л0). (Н)

Чтобы рассмотреть еще одно определение, напомним некоторые простые понятия. Пусть f ограничена на X . Число (О_х ( f) = sup f(x) - inf f (x) называется колебанием функции на

xeX ^xeX

множестве X. Можно рассмотреть колебание (Q_Vg (x₀; f) на окрестности V (x₀; d; X). Число w(x₀; f) = inf ( (x₀; f)

называется колебанием функции в точке x₀. Колебание есть неотрицательное вещественное число.

Если f неограниченна в каждой окрестности точки x0, то принимаем, по определению, co(x₀; f) = +¥.

Определение Бэра (Р. Бэр, 1874-1932, Ваге,Франция).

Функция f называется непрерывной в точке x0, если ее

колебание в этой точке равно нулю:

w( f,x ) = 0. (В)

Более известны первые два определения. Определение Коши используется для практического доказательства непрерывности, а определение Гайне удобно использовать для доказательства разрывности. Но все эти подходы теоретически равноценны.

Теорема

Определения непрерывности по Коши, Гайне и Бэру эквивалентны. Доказательство

1. (C) ^ (H). Пусть f (x) непрерывна в точке x по Коши,

^(xnLn С X ^ n®¥ > .

Тогда "S > 0$Пэ(S)е N: n > n₀ ^ p(x_n, x₀) < S. Зададимся "e> 0. Из условия (C) найдем S(e) > 0 такое, что p(x, x₀) < S f (x) - f (x₀)|<e, а по S найдем соответствующий номер n₀. Тогда при

ⁿ > ⁿ0 Н ^f (^xn)^{- f} (^x0)\<^e, т. е. ^f(x_n⁾ ® ^f(x0⁾.

2. (C) ^ (B). Из условия (C) имеем: при xе V(x₀;S; X) ^ f(x₀)-e< f(x) < f(x₀) + e. Это означает, что sup f (x) < f (x, ) + e,

inf f (x)> f(x0)-e для точки x.

Следовательно, a)_Xs (x₀; f) < 2e . В силу произвольности e > 0, co(x₀; f) = inf a>_Vs (x₀; f) = 0 и условие (B) выполнено.

3. (B) ^ (C). Пусть w(x₀; f), т. е. "e> 0 $d> 0: ((x₀₎; f) <e.

Значит, "xe V(x₀;d; X) f (x) - f (x₀)|<e и (C) выполнено.

4. (H) ^ (C). Допустим противное:

3e0 > 0: "d > 0 $xd e V(x; d; X) :| f (d - f (x) |> e.

Положим d_n =¹.

ⁿn

^П°лу^{чим (x}_n⁾neN ^{: x}_n ^{e V(x}0;¹; ^{X)L | f(x}_n^{) - f(x}0^{) |}> ^e0 .

n

В то же время x_n ® x₀. Противоречие с условием (H).

Теорема доказана. Замечание

Интересно отметить, что доказательство импликации (H) ^ (C) опирается на аксиому произвольного выбора Цермело.

Действительно, мы получим для d_n =¹, x_n ® x₀Л | f (x^ |> e₀.

ⁿ _n ^{n 0 0 0}

Но существование ^x_s : р(x_d; x₀) < dL | f (x_d) - f (x₀) |> e₀ не означает существования правила их построения. Достаточно показать, что предположение {x_d}=0 ведет к противоречию.

Таким образом, предположение, что f (x) ненепрерывна в т. x₀ означает лишь, что для некоторого e > 0 будет: "d > 0 Md={ xe V( x; d; X):| f(x,) - f(x,)|>e}*0 . Переход от M } к (x_n )_neN может осуществляться лишь путем произвольного выбора x_n е M_d .

При этом М_п+1 с M_n ^ надо рассматривать M_n \ M_n+1. Берем лишь непустые из них, обозначаем M _n и из них на основании аксиомы произвольного выбора выбираем по точке x_n.

Обобщением и усилением обычной непрерывности функций есть понятие абсолютной непрерывности. Рассмотрим ее применительно к функциям на отрезке. Пусть f(x) конечна на

[ a; b]. f(x) называется абсолютно непрерывной на [ a; b], если

"e > 0 3 d > 0 : для произвольной системы попарно различных

n

Z( f (bk)-f (ak))

k=1

<e. (*)

k=1

При n =1 получаем обычную непрерывность. Обратное неверно. Условие (*) можно заменить более сильным:

Z|f (bk)-f (an )| < e . (**)

k=1

К абсолютно непрерывным функциям относятся функции, удовлетворяющие так называемому условию Липшица:

"а,ре [a; b] f (р)- f (a)| < L\b-a|, L = const.

Арифметические действия сохраняют абсолютную непрерывность.