§ 10. Трансфинитные числа

Порядковые числа бесконечной мощности называются трансфинитными числами. Все числа из с,с+ 1,...с+ п - есть трансфинитные числа.

Порядковые типы cf,p,h,1 не есть трансфинитные числа, ибо это типы не вполне упорядоченных множеств.Множество N₀ называется первым числовым классом. Ему соответствуют конечные мощности. Вторым числовым классом K₀ называется множество всех порядковых чисел, которые есть типами счетных вполне упорядоченных множеств. Числа класса K₀ уже трансфинитны. Класс K₀ уже несчетен, K0 обозначается IC₁. Вообще, алефами называются мощности вполне упорядоченных множеств. Каждые два алефа сравнимы. Таким образом, мощность первого числового класса N₀ равна IC₀, второго класса K₀ - IC₁. В класс K₀ входят числа уже w,w + 1,...,w + п,..,ю + ю = ю-2, ю- 2 +1 и т. д.

Продолжая процесс, определим все числа вида Ю - n + m. Их счетное множество.

Первое, следующее за ними число обозначается w² .

Далее идут

w² + 1,...,w² + n,...,w² + w,...,w² + Ю+ n,...,w² + +w- 2,...,w² + w- 2 + n и т. д.

Первое, следующее за ними число, обозначается w³ . Продолжение этого процесса приводит к w^k - n + w^k-1 - n₁ +... + n_k. За ними идет число, обозначаемое w^w . Процесс продолжается и далее. Число, следующее за числами вида w^{w и}, обозначаем через e. Далее идут e +1 и т. д. И все же для всех чисел из K₀ мы не можем ввести символы, т. к. обозначениями мы охватим только счетное множество чисел, а класс K₀ несчетен.

Что касается алефов, то наибольшего алефа нет, каждый алеф имеет непосредственно следующий алеф. Каждый алеф есть IC_a, где a - порядковое число.