5) Объединение счетного дизъюнктного семейства конечных множеств счетно. Доказательство

Применим тот же прием:

Л ^:= ^a11, ® ^a12, ^a1^j ^{- -}i

^A2 ^:= ^a21, ^{-- a}22 , ^—, ^a2 K₂ ^—

i

^A2 ^{: a}n,, ^an₂,..., ^anK„

Свойство доказано.

6) Объединение счетного семейства счетных множеств счетно

.

Доказательство

Достаточно считать семейство дизъюнктным, указываем нумерацию:

_{А :} a J*

^{Л : a}21, ^a22, ^a23 , •••, ^a2n₁,.

Л **

a„

^An ^: ^ —

Свойство доказано.

Договоримся об одном термине^ Если множество А конечно или счетно, будем говорить, что оно не более чем счетно^

Следствие 1

Объединение не более чем счетного семейства не более чем счетных множеств не более чем счетно^

Теперь мы можем установить счетность множества рациональных чисел •

Следствие 2

Множество Q счетно • Доказательство

Рассмотрим в начале положительные рациональные числа:

Q •

Q. = y { ^Р j =U Qq •

q I q j q

Q = <J¹,²,...,^П,•••[ очевидно счетно^ Семейство {Q_q}_qeN не

^q I q q q j ^q

дизъюнктно, но поскольку Q+ все-таки бесконечное

подмножество счетного множества U Q_q, то оно счетно^ В силу

q=1

^q

биекции f:^Р «-^P, p, q e N,( p, q) = 1, Q_- - счетно. А тогда qq

Q = Q+ u {0} u Q _- - счетно. Известно, что каждый промежуток (a, b) имеет бесконечное множество рациональных чисел. Отсюда:

Следствие 3

Множество рациональных чисел Q<_{a ь}> счетно.

Бесконечное множество, не являющееся счетным, будем называть несчетным. Поскольку IC₀ - кардинальное наименьшее бесконечное число, то мощность несчетного множества больше, чем IC₀ . То, что счетная мощность среди

бесконечных мощностей «весьма мала», показывает следующее свойство.

7) Если множество B бесконечно, а A не более чем счетно,

то B u A = B. Доказательство

Считаем Bп A = 0. Выделим из В счетное подмножество С. Обозначим:

D = B\C. Имеем B = Du C, Bu A = Du (Cu A). Cu A = IC₀, так что C u A ~ C. По теореме о склеивании B = Du C~ Du (Cu A) = Bu A. Свойство доказано.

8) Если B несчетно, A с B, а A не более чем счетно, то

B \ A~B, т. е. B\ A = B. Доказательство

B \ A = C не может быть конечным, иначе B = C u A было бы не более чем счетно. Значит, C бесконечно. По 7^o, Cu A ~ C , т. е. B \ A~B. Свойство доказано.

Таким образом, прибавление или удаление не более чем счетного множества не меняет мощности несчетного множества. Следствие

Каждое бесконечное множество имеет собственное бесконечное подмножество.

Иногда это используется как определение бесконечного множества.

Весьма применимым является:

9) Если элементы множества A определяются одним и тем же конечным семейством индексов, каждый из которых независимо от других принимает счетное множество значений, то множество A счетно. Доказательство

A = {a,,₂,..,x,}.xe X,X = IC0.

Применим полную индукцию по n .

При n = 1, очевидно, верно. Пусть верно при n = k.

Покажем, что верно при n = k + 1.

A = {a ,...,a ,a }.Введем обозначение: A - множество

^{v x}1 ^xk ^xk+l^{J 1}

a e A таких, что у них x_k+₁ принимает какое-то фиксированное значение x_k+1 = x_k⁽¹₊⁾₁ . По предположению индукции A₁ счетно.

Поскольку A = U A_t, то A тоже счетно.

1=1

Свойство доказано.

Следствие

Счетными являются множества:

• точек плоскости с рациональными координатами;

• точек пространства с рациональными координатами;

• множество Qⁿ;

• множество полиномов Z[ x];

множество полиномов Q[ x]

.

Итак, счетные множества имеют важные и интересные свойства. Далее мы перейдем к более высокой мощности. Отметим лишь в конце символические правила арифметики счетных множеств:

a + n = a, a - n = a, a+a + ... + a = na = a,

^a V '

n

n₁ + n₂ +... + n_k +... = a, aa = a.