(0,1)Глава 4. Пространства суммируемых функций

В этой главе мы будем изучать суммируемые функции с более общей точки зрения - рассматривать их множество в целом с точки зрения тех операций и отношений, которые в этом множестве вводятся. Поскольку эквивалентные функции имеют много общих свойств, в частности, одинаковые значения интеграла Лебега, то мы не будем различать их, а считать различными формами представления одной и той же суммируемой функции. С формальной точки зрения рассматривается фактор - множество L(X)/ E, где E - отношение эквивалентности функций. Это не создает трудностей, а наоборот, дает удобства: можно выбрать форму представления данной функции, наиболее подходящую в данной задаче. Ситуация чем-то напоминает ситуацию с

1 5 50

обыкновенными дробями:—, — формы представления

одного и того же рационального числа и мы можем выбрать любую.

Вначале мы напомним некоторые сведения из курса алгебры и геометрии, а также введем некоторые новые понятия из современного анализа, необходимые для полноценной характеристики множеств суммируемых функций, ограничиваясь необходимым минимумом.