§4. Замкнутые множества

Определение

Множество F называется замкнутым, если оно содержит все свои точки прикосновения: F с F.

Поскольку всегда F з F, то F замкнуто ^ F = F.

Примеры

1. [ a, b ] замкнут в R;

2. [ a, b) не замкнут в R: x₀ = b - точка прикосновения, не

входящая во множество;

3. множество, состоящее только из изолированных точек, в частности, конечное множество, замкнуто.

Свойства замкнутых множеств, замыканий и предельных множеств.

1⁰ . F замкнуто тогда и только тогда, когда его дополнение с F = G = Rⁿ \ F открыто.

► 1) Пусть F замкнуто. Рассмотрим возможные случаи.