9O Объединение континуального дизъюнктного семейства множеств мощности c есть множество мощности c . Доказательство

Пусть А = u _е1А, I = c, тогда I~R

.

Пусть f (i ) = a e R. Функция f : a ® А - есть биекция. Поскольку A ~R, то А эквивалентно прямой y = a на плоскости. В силу принципа склеивания

А = u А ~ u { y = a } = R². Значит, А = R² = c.

ieI aeR

Свойство доказано.

10^o Множество всех последовательностей вида (a_n )_neN, где a_n принимают независимо друг от друга два данных значения (например, 0 и 1), имеет мощность c .

11^o Если А = { a_xi, _Хг } , где x_k независимо от других

принимают два фиксированных значения, то А = c. Примем эти два свойства без доказательства.

Следующие два свойства настолько важны и интересны, что мы их подадим в виде теорем.

Теорема 2

Множество C[ 0;1] непрерывных вещественных функций, заданных на [0;1] имеет мощность континуума. Доказательство

C [ 0;1] имеет подмножества, эквивалентные R.

Например, { x + b}, b е R. Так что C[0;1] > c. Покажем, что

Ш < c.

Рассмотрим множество R°° всех вещественных последовательностей. R°° = c по 8°. Множество Q[ 0;1], как мы ранее уже указывали, счетно. Расположим его элементы в виде последовательности (r_n )_neN.

Каждой функции f е C [ 0;1] поставим в соответствие последовательность ( f (r_n ))_neN. Это множество

последовательностей есть подмножество множества R^¥ = c. Указанное соответствие взаимно однозначно: если бы

( ^f ( ^rn ) ) ne N = ( g ( ^rn ))neN д^{ля f,} g ^{e C} [ ⁰;¹ ] ^{, f Ф} g^{, то в сил}у

непрерывности f и g, и представления вещественных чисел как пределов последовательностей рациональных чисел было бы f (x) = g( x)"xe [0;1], т. е. f = g.

Итак, C [ 0;1] эквивалентно множеству указанных последовательностей, части множества R°° мощности c. Значит,

ЩЦ £ c.

Окончательно C[0;1] = c. Теорема доказана.

Теорема 3. 2^a = c. Доказательство

Пусть B = b(N), P = {(a_n)_neN} таких, что a_n = 0 v a_n = 1.

По свойству 10°. P = c. B = 2^a.

Возьмем произвольно N* с N. Поставим ему в

Г1, ne N*,

соответствие последовательность (a_n )_neN, так, a_n = \ -

[0, neN *.

Мы получаем биекцию B на P . Значит, B = c . Теорема доказана.

В заключение рассмотрения континуальных множеств запишем законы континуальной арифметики: c > a,2^a = c, c + ... + c = c, ca = c, cc = c.

Конечно же, континуальной мощностью бесконечные мощности не исчерпываются.