§ 10. Сходимость почти всюду

Мы уже рассматривали два вида сходимости функциональных последовательностей: простая поточечная и равномерная. Введем следующий тип сходимости.

Пусть X с R, X ф 0, на X задана функциональная

последовательность (f_n (x)) , X измеримо по Лебегу. Говорят, что некоторое свойство P(x) выполнено почти всюду на X, если мера множества Y = {xе X: P(x)} равна нулю.

Пример

x² > 0 почти всюду на [-1;1]: Y = {0}, mY = 0.

В частности, применим это понятие к сходимости

последовательностей.

Определение

Последовательность ( f_n (x ))_neN называется сходящейся к f0 (x) почти всюду на X, если

Y = { х е X : f_n ()®_n®_¥ f₀ ( )} имеет меру нуль. Запись:

x

— x ф 0

п . Тогда f_n0, т. к. Y = { 0}

Пример

X = [-1;1], fn (x ) =

1, x = 0

и mY = 0 .

Очевидно, имеет место такое соотношение трех типов сходимости функциональных последовательностей:

равномерная простая поточечная почти всюду. Или на диаграмме

:

Таким образом, «самая сильная» - это равномерная, «средняя» - простая поточечная, «самая слабая» - почти всюду. Далее мы введем ещё некоторые виды сходимости.