§ 8. Измеримость множеств

Определение

Множество A называется измеримым, если m* A - m* A. Их

общее значение называется мерой множества A и обозначается mA.

Таким образом, ограниченные открытые и закрытые множества измеримы, а их меры равны ранее введенным. Из следствия §7 вытекает, что если интервал Dd A, то множества A и c_D A одновременно измеримы или нет.

Свойства измеримых множеств:

1°. A = u A, I< IC₀, i * j ^ A п A. =0, A измеримы. Тогда

ieI ^j

A измеримо.

► Действительно,

Z mA =Z m* A < m* A < m* A < Z m* A, =Z mA ^ m* A = m* A ◄.

i i i i

n

2°. Если A, A,..., A_n измеримы, то A = u A измеримо.

i=1► Действительно, "e > 0, "i = 1,2,...,n возьмем

e

ограниченные F с A_i с G_i, такие, что mG₁ - mF_t < —. Обозначим

n

nn

F = u F, G = u Gi.

i =1 i =1

Тогда F с A с G, отсюда mF < m* A < m* A < mG. Множество G \ F открыто и ограничено, значит, измеримо. Также G = F u (G \ F), причем F п G \ F = 0 .

Тогда m (G \ F) = mG - mF. Также m (G_t \ F ) = mG₂ - mF_t.

nn

Поскольку G\Fс u(G_i\F), то m(G\F)<£m(G₁ \F) =

ⁱ⁼¹ i=1

= Z mG₁ - mF < e.

i=1

Отсюда m* A - m* A <e^ m* A = m* A ◄.

n

3°. Если Д, Д,... A_n измеримы, то u A_i измеримо.

^{1 2 n} _i=1 ⁱ

• Действительно, пусть A - интервал, содержащий все Д..

n

Тогда c_A = u c_A Д. (по законам де Моргана). c_A Д. измеримы

i=1

одновременно с множествами Д., отсюда имеем измеримость c_A A и значит, A ◄.

4°. Д, A₂ - измеримы ^ A = Д \ Д измеримо.

• Действительно, пусть интервал A содержит A₁, A₂ . Тогда A = д п c_A A₂ и 3° ◄.

5°. Если в 4° дополнительно A ³ A, то mA = mA - mA₂.

• Поскольку A п Д, Д = Au Д, то mД = mA + mA₂ ◄.

6°. А = u A_t, A_t - измеримы, тогда А измеримо.

_i=1 ^{i i}

• Введем множества В = А;, B₂ = А₂ \ А₁,...,В, = А,\ u А,,

к=1

тогда А = u B_t.

_i=1 ⁱ

Все Bj измеримы и попарно не пересекаются, можно использовать 1° ◄.

7°. А = u A_i, А, - измеримы. Тогда А измеримо.

_i=1 ^{i i}

• Пусть A - интервал, содержащий A . Обозначим

f ¥ Л ¥ ¥

В_к = A \ А_к, тогда A = A \ A = A п u А, = п (A \ А )= п В.

^ i=1 j i=1 i=1

Поскольку c_A = u c_AB_t, то по ранее установленным свойствам

i=1

О

8°. Пусть А,ie N - измеримы, Д е А₂ е ... е A_n. Если А = u А, ограничена, то mA = lim (mA_n ).

i=1 n ®¥

► Действительно, A = A u ( A₂ \ A₁) u ( Aj \ A₂)u ( At \ A3).... Слагаемые попарно не пересекаются. Тогда по 1 ° и 4

mA = mA + У m( A+i \ A ) = mA + (mA₂ - m4 ) + (mAj - mA,) + ...

i=1

n-1

Отсюда mA = lim (mA + У (mA,+₁ - mA,)) = lim (mA„ ) ◄.

n®¥ ^ n®¥

i=1

¥

9°. Пусть А,ie N измеримы, A = п A, А з А з A3 з ...

i=1

Тогда mA = lim (mA_n ).

n ®¥

► Это свойство сводится к предыдущему стандартному способу введения интеграла Аз А, . Очевидно, c_AA е c_AA2 е c_AA е ... и примем 8° ◄.