§ 6. Пространство функций с суммируемым квадратом

f ( x) называется функцией с суммируемым квадратом или функцией, суммируемой с квадратом на множестве X, если f²(x) суммируема на X, т. е. 3[L] j f²(x)dx< +¥ .

X

Множество этих функций обозначается L²( X). Каково соотношение L(x) и L²(X)?

Теорема 1

L²( х) с L( х). Доказательство

Имеет место очевидное неравенство: | f (x)| < ¹ (1 + f ²(x)).

Таким образом, если f ²(x) суммируема, то и | f (x)| суммируема, значит, и f (x) суммируема, т. е. L²(х) с L(х) .

Теорема 2

f (x), g(x) e L²(х) ^ fge L²(х).

Доказательство

Указанное свойство выполняется в силу очевидного неравенства

\f (x) g( x)\ < 2 ( f ²( x) + g ²( x)) .

Теорема доказана.

Теорема 3

f(x) e L²(х) ^ 1f(x) e L²(X),Лe R. Очевидно, вытекает из теоремы 2.

Теорема 4

f(x), g(x) e L²(X) ^ f(x) ± g(x) e L²(X) .

Вытекает из очевидного равенства ( f (x)± g(x))² - - f ²( x) ± 2 f (x) g( x) + g²( x).

Отсюда получается исключительно важный результат.

Теорема 5

13 (X) есть линейное подпространство в L(x).

Действительно, теоремы 3, 4 показывают выполнение критерия подпространства.

Поскольку при f (x), g(x) e L²( X), f (x)g(x) e L²( X) , то скалярное произведение этих функций, как элементов

пространства L ( X), может рассматриваться и в пространстве L²( X), которое будет эвклидовым подпространством эвклидового пространства L (x).

Таким образом, в L²( X) можно рассматривать ортогональность функций и связанные с ней вопросы, выполняется неравенство

[Y[L]I /(x)g(x)dxl < [L]I f²(x)dx• [L]Ig²(x)dx^

которое в

X / X X

T2,

L²( X) имеет название неравенства Буняковского. Если взять g(x) ° 1, f (x) заменить на \f (x)|, то из этого неравенства получим еще одно:

[L]I| f(x)|dx<VmXх [L]I f²(x)dx. (*)

X V X

2

Как определить норму в L²( X)? Поскольку оно эвклидово, то можно вводить эвклидову норму:

2

f(x)||_д = f = J[L]I f²(x)dx.

L²( X) - подпространство L (x). Норму L (x) можно записать так:

i

i V

|| f(x) || = [L]I | f(x) |dx = [ [L]I| f(x) | dx I . Тогда, по

x V x j

аналогии, в L² ( X) надо норму вводить так:

1

|| f (x) || = I [L]I | f (x) | dx j . Но это и есть эвклидова норма. В

X

L ( x) тоже можно вводить эвклидову норму, но она отличается от ранее введенной. Это будет другое нормированно

е

пространство. А L (X) понимается именно как пространство с нормой [ L]J | f(x) \dx.

X

Итак, L²( X) есть предгильбертово пространство.

Неравенство треугольника в L²( X) имеет название неравенство Коши:

J[L]J( f(x) + g(x))² dx [L]J f²(x)dx + J[L]Jg²(x)dx.

Сходимость по норме в L²( X) называется сходимостью в среднем порядке 2:

f_n(x)fo(x) о lim[L]J( f_n(x) - fo(x))²dx = 0.

ⁿ X

Как обычно, сходящаяся в среднем последовательность фундаментальна в среднем. Верно и обратное.

Теорема 6 (Э. Фишер)

Фундаментальная последовательность в L²( X) является сходящейся в этом пространстве. Доказательство

Практически полностью повторяется доказательство полноты L(x). Пусть ( f_n(x) )_n__N фундаментальна. "K е N

выберем n_K е N: n > n_K, m > n_K ^ || f_n - f_m || < —^ . Поскольку

Z < ^{+¥ , то и} Z II 4+1 ^- 4 II < . ^{Поскольк}у

K=1 ² K=1

[L]J| fnK₊₁ - f_BK \ dx< mX|| fnK₊₁ - f_nK II (из (*)), то в силу 13°, №5,

X

главы 3 почти всюду сходится ряд | f_n1 (x) | + Z | f_nK+_i (x) - f_nR (x) |,

K=1

+

т. е. ряд f_n1 (x) + £ ( f„_K+i (x) - f_nK ) абсолютно сходится почти

K=1

всюду на X, его частичные суммы S_m (x) = f (x) . Это означает, что ( f_n (x) )_neN сходится почти всюду на X при n ® +¥ . Построим функцию:

Г lim f_n (x), где предел есть и конечен,

a x)=l*®-* ^{(Л ,}

[ 0, где предела нет, или он бесконечен.

f₀(x) измерима на X. f_nK (x) » f₀(x) . Покажем, что

f₀(x) e L²(x). "e> 0 $n0(e); n > щ, k > k₀ будет

|| ^fn ^{- f}n_K\\ <^{e, те}. ^{[ L]} j ( ^fn^{(x) - f}n_K ^(x) )² < ^e. ^Пр^{именим тео}р^ему

Фату к последовательности f_n - f , k > k₀, имеем [L] j( f_n - f₀ )² < £², тогда f₀(x) e L²(x) , причем

X

f_n ( x) f0( x).

Теорема доказана

Итак, L²(X) - гильбертово пространство. Поэтому общий вид непрерывного линейного функционала будет l( f) = fg = [L]j f(x)g(x)dx, g(x) e L²(X). Сопряженным к

X

L² ( X) есть оно само. Слабая сходимость имеет вид: f_n(x) —® x) ^ lim [L]j f_n(x)g(x)dx =

n®+¥ J

X

= [L] j ax)g(x)dx, "g(x) e L²(x).

X

Как обычно, сходимость по норме влечет слабую сходимость. Установим соотношение сходимостей в среднем и по мере

.

Теорема 7

fn (x) —fo( x) влечет f_n (x) ^ f0(x). Доказательство

"s > 0 обозначим 4 (s) = X(| f_n - f₀ |> s) .

[L]j(fn - /0)² dx> [L] j (fn - /0)² dx>s²®4n(s).

An (s)

При фиксированном s> 0 при f_n (x) ——® f₀(x), [L] j(f_n - f₀)² dx® 0, следовательно, mA_n(s) ® 0, т. е.

^fn ^(x) ^ ^f0^{( x)}.

Теорема доказана.

Как связана сходимость в среднем со сходимостями почти всюду и поточечной?

Во-первых, из сходимости в среднем не следует сходимость почти всюду.

Пример

"k е N "i = 1 ■ k на [0,1) построим k функций:

1, x е

k 'k У i-1 i

k 'k

)

Это семейство функций счетно, расположим его в последовательность:

g1^{( x)} = ^f11^{( X),} g2^{( x)} = ^f21^{( X),} g3^{( x)} = ^f22^{( x)}

.При n ® +¥, k ® +¥. m Следовательно,

c -1 i Л 1

~т, k J =¹ ®⁰

.[L] j dx = [L] j gn(x)dx = (L) j gn(x)dx = (L) j dx =

c-1 i ⁴

[ 0,1)

j

= (R) J dx = 1 ® 0, т.е.[L] J (g_n(x) - 0 )² dx ® 0 и

[ 0,1)

c -1 i

kk

->0.

Но g_n(x) ® 0 "xe [0,1]: "x₀ e [0,1) "k $i : ль e

fki (x0) = 1.

Это означает, что сколько угодно далеко в последовательности (g_n (x₀) )_neN есть элементы, отличные от нуля, а именно, единицы. Итак, g_n(x) —® 0.

Во-вторых, простая поточечная сходимость не влечет сходимости в среднем.

Приме

р

n, 0 < x < ¹ n

X = [0,1], fn (x) =

n

lim fn(x0) = 0, fn(x)® 0.

Но [L] J f_n²(x)dx = [L] J n²dx = (L) J n²dx

=[0,1]

n C2

0

[0;¹ ] n

Перейдем к рассмотрению вопросов, связанных с ортогональностью. Поскольку L²( X) - гильбертово, то метрическая структура, определяемая скалярным умножением, и есть исходная метрическая структура пространства. Поэтому ортонормальные системы функций являются естественной структурой в L²( X). Ортонормальность

^F = ^{jk^(x)}keN ^{означает}

^:

[L]J j²(x)dx = 1, [L]Jj_k(x) jm(x)dx = 0 при m Ф k .

X X

Коэффициенты Фурье для f (x) е L² ( X) по j определяются формулой: С_к = [L]J f(x)j_k(x)dx. Обобщенный ряд Фурье для

X

f(x) по j: ZC_kj_k(x). Пусть S_n(x) - частичная сума этого

k=1

ряда. Рассмотрим 11 f - S_n||. Вычислим сначала [L]J f(x)S_n(x) и

X

[L]J S²( x)dx.

X

n n

[L]J f(x)Sn(x)dx = Z Ck[L]J f(x) jk(x)dx = Z Ck².

k=1 _X k=1

n

[L]JS²(x)dx = ZZ[L]J j(x)jk(x)dx = ZCk .

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 2

КОНСПЕКТЛЕКЦИЙ 2

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 3

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИИ 3

а\в 15

( А \ Д) п (А \ Аг ) = 0 ( д\ Аг ) п ( а \ Аз )=0 23

2o Если A = U A, 1Ф j ^ A П Af =0, A = c, то A = c 37

Возьмем набор точек 0 = x0 < x1 < x2 < ... < xx i < xn = 1. 37

склеивания A = u A = ^ [xk-1, xk) = [0,1) = c. 38

3o A = u A, 1 ф j ^ A п A,. = 0, A = c ^ A = c. 38

. («,А )с G^iej ^ U (a ,b ) = a с g. 77

х = щ, k = 1,2,...,n 101

^ [ l ] J a fi - EIf i] П0) dx< [ l ] J a fi - nf i] П0) dx. 206

= (L) J n2 dx = ( R)J n2dx = n ® +¥ fn (x) ® 0 . 236

[i] f t—(x)dx = limi (- - - 1 255

Это тождество Бесселя. Из него: Z Ck < || f \\ - неравенство

k=1

Бесселя. Ввиду произвольности n е N; Z C2 <|| f|Г -

k=1

предельное неравенство Бесселя. В случае равенства,

Z С² f||² получаем Равенство Парсеваля, которое также

k

называется формулой замкнутости. Это условие означает, что || f - ® 0, т. е. S_n (x) —f (x) . Аналогично могут быть

непосредственно доказаны другие факты в L²(X), относящиеся к их свойствам как гильбертовых пространств.

Замкнутость ортонормальной системы означает выполнение формулы замкнутости для Vf (x) е I²( X).

Теорема 8

Если D - замкнута, то fg = £ a_kb_k ,

k=1

где a_k, Ъ_к - коэффициенты Фурье для f (x), g(x) соответственно по системе Ф .

Доказательство

a_k[L]{ f(x)jk(x)dx bk = [I]Jg(x) jk(x)dx.

X X

Для h(x) = f (x) + g(x), коэффициенты Фурье c_k = a_k + b_k. В

силу замкнутости Ф, получаем 11 f + g||² = £ (a_k + b_k)² . Отсюда

k=1

|| f + g\|² = ( f + g)( f + g) = f² + 2 fg + g² =

¥ ¥ ¥ ¥ ¥

= £ al + 2£ akbk + £ b² = f² + 2£ a_kb_k + g² ^ fg = £ a_kb_k . k=1 k=1 k=1 k=1 k=1

Теорема доказана.

Естественно, в L²(X) выполняется теорема Рисса-Фишера. Важной особенностью I²( X) является эквивалентность условий замкнутости и полноты ортонормальной системы.

Теорема 9

Ортонормальная система функций Ф = {j_(x)}_ne n замкнута

тогда и только тогда, когда она полная. Доказательство

1. Если Ф - замкнута и f (x) L Ф, то C_k = fj_k = 0.

Из формулы замкнутости 11 f \|² = £ Ck = 0 ^ f = 0 .

k=1

2. Пусть Ф полная. Допустим противное: Ф - не замкнутая

$g(x) : ^ Ck < |\g\|². По теореме Рисса-Фишера:

k=1

$f(x): [L]f f(x)jk(x)dx = Ck, 11 f\\² = Z Ck².

X k=1

полн

Тогда h(x) = f (x) - g(x) ± Ф ^ f (x) = g(x), но также || f || < ||g||. Противоречие. Теорема доказана.

Особая роль пространства L²( X) выясниться немного позже. Перейдем к другим пространствам суммируемых функций.