2. Достаточность

Пусть "8 > 0 mes* A₈ = 0. Покажем, что при выполнении этого условия интеграл существует. Пусть 8 и g- произвольные положительные сколь угодно малые числа и W - некоторая система интегралов, покрывающая множество A₈, сумма длин которых меньше g. По условию такая система интегралов существует. A₈ замкнуто, выберем из W конечное подпокрытие K. Сумма длин интервалов семейства К тем более меньше g. Построим также (T) -разбиение [ a; b ], чтобы точками деления были все концы интегралов из K и чтобы часть [ a; b ], оставшаяся вне покрытия K (она замкнута и f (x) на ней непрерывна), была разбита новыми точками деления так, чтобы на [х_к, x_k+1] включающем x, x+₁, ко 2-й части - все остальные.

£ WAx < 8(b — a), £ WAx < w( f)g.

n-1

Имеем: Т w_iAx_i < d(b - a) + w( f)g, и может быть сделана сколь

i=0

n-1

угодно малой, тогда ^lim ^ wAx; = 0 и интеграл Римана

существует. Теорема доказана.

Второй результат связан с мерой Лебега и представляет собой самый удобный критерий интегрируемости по Риману.

Теорема 2 (А. Лебег)

Ограниченная на [ a; b] функция f(x) интегрируема по

Риману тогда и только тогда, когда она на [ a; b] непрерывна

почти всюду.

Доказательство