§ 7. Функциональная мощность

Теорема 1

Мощность F [ 0;1] множества всех вещественных функций, заданных на [ 0;1 ], имеет мощность, большую, чем мощность континуума. Доказательство

Поскольку C [ 0;1]cz F [ 0;1], то F > c. Покажем, что F [ 0;1] неэквивалентно [ 0;1]. Допустим противное. Каждому tе [0;1] взаимно однозначно соответствует f_t(x). Введем еще одну функцию: F(t, x) = f_t(x) . Она задана на [0;1]х[0;1]. В частности, при t = x, F (x; x) есть функция x. И еще одна функция: g(x) = F(x; x) + 1. gе F, значит g(x)= f_a (x). Другими словами, g (x ) = F (a; x). Значит, при всех x е [ 0;1] F (x; x) +1 = F{ a; x). Но при x = a, а это вполне допустимо, F(X; x) +1 = F(X; x), что невозможно.

Значит, F [ 0;1] [ 0;1] и F[0,1] > c. Теорема доказана.

F[0,1] обозначается f и называется функциональной мощностью. Получаем f > c. Также f называется гиперконтинуум.

Теорема 2

2^c = f.

Примем этот результат к сведению. Он показывает интересный факт: непрерывные функции составляют «ничтожно малую» часть в множестве всех функций. Понятие функции очень общее и далеко не все поддается наглядным представлениям.

Что же дальше? Наибольшей мощности нет, можно двигаться беспредельно. Какие глубокие законы вселенной

отражает этот результат, нам не известно. Далее мы займемся более специальными множествами - упорядоченными, и это дает возможность с новой стороны взглянуть на мощности - кардинальные числа. В частности, прояснится такой момент: почему мы рассмотрели только алеф-нуль IC_o и есть ли другие алефы.