§ 4. Гильбертовы пространства

Если X - линейное нормированное и одновременно эвклидово или унитарное пространство, а его норма именно эвклидова, то X называется предгильбертовым пространством. Если X банахово, т. е. полно по эвклидовой норме, то X называется гильбертовым пространством (в честь Гильберта, David Hilbert, 1862 - 1943, Германия)

.

Примеры

1. Eⁿ.

2. Сⁿ.

3. С_Е[a, b]- не гильбертово, т. к. неполно по ||x(0||_E.

В гильбертовых пространствах рассматриваются вопросы, связанные с ортогональностью и нормой. В частности, рассматриваются обобщенные ряды Фурье.

Пусть Ф - {a_k}_keI - ортогональная система элементов. Ф называется полной, если ее невозможно расширить как ортонормальную систему: $b Фв: b ёФ, b ±Ф . По ортогональной системе строится ряд Фурье для данного

элемента b из х: ^ a„a_n , где a_n - a_nb. Если "b e х этот ряд

n-1

сходится по эвклидовой норме к b , то система Ф называется замкнутой.

Это фактически означает, что Ф есть топологический базис (базис Шаудера) пространства х. Замкнутая ортонормальная система является полной. Обратное не всегда верно. По замкнутой или полной ортонормальной системе "be х, его обобщенный ряд Фурье определяется однозначно.

Пусть dim х - IC₀, Ф - { a_n }_neN - ортонормальна. "b e х

определим коэффициенты Фурье: a_n - a_nb.

Тогда ряд ^ а²_п сходится, причем ^ajj <||b||². Это

n-1 n-1

неравенство Бесселя. Если имеет место равенство, то оно называется равенством Парсеваля - Стеклова. Его выполнение является критерием замкнутости Ф. (М. А. Парсеваль, Parseval, 1755 - 1836, Франция; В. А. Стеклов, 1864 - 1926, Харьков). Выполняется также теорема Рисса - Фишера:

Если Ф - {a_n}_neN - ортонормальная система в гильбертовом пространстве и ^аЩ < +¥, то существует b e х: a_n - его

n-1

коэффициенты Фурье по Ф, т. е. a_n - ba_n, причем ^а²_п - ||b||².

n-1

Очень важен следующий результат:

Каждый линейный функционал в гильбертовом пространстве имеет вид l (x) - xa, a e х.