X е (X j y)' имеем (X j y)' с X' j y. /
В итоге ( X j Y) = X' j Y ◄.
100. (X) = X
► (X) = X j X' = (X j X') j (X j X)' = X j X' j X' j X". Поскольку X' замкнуто, то X' с X'. Тогда X = X J X' = X ◄. 110. X j Y = X j Y.
0
► X j Y = (X j Y) j (X j Y)' = X j Y j X' j Y = = (X j Y') j (Yj Y) = X j Y ◄.
Далее мы установим структуру открытых и замкнутых множеств на прямой, на плоскости, в пространстве и в Rn.
Еще несколько понятий и фактов, относящихся к замкнутым множествам, предельным точкам и точкам прикосновения. Если X з Y, то X называется плотным в Y. Если X = Y, то X называется всюду плотным в Y. Например, Q всюду плотно в R, т. к. каждое вещественное число есть предел последовательности рациональных чисел.
Если X с X (нет изолированных точек), то X называется плотным в себе. Если X = X', то X называется совершенным. Можно доказать, что каждое непустое совершенное множество имеет мощность континуума.
Точка x0 называется точкой конденсации X, если в V V(x0)
есть несчетное множество точек из X .
Если множество не имеет точек конденсации, то оно не более чем счетно (теорема Линделёфа). Также несчетное замкнутое множество имеет мощность континуума. У каждого несчетного множества множество точек конденсации совершенно. Каждое несчетное замкнутое множество является объединением совершенного и не более чем счетного множеств.
- Теория функций действительной переменной
- Теория функций действительной переменной
- П 2. Разделы тфвп
- 1. Литература для математиков-теоретиков научного направления. Содержит больше материала, чем наша программа предусматривает:
- 2. Литература для математиков-теоретиков педагогического направления. Содержит практически весь нужный материал и другие вопросы:
- 3. Сборники задач:
- Раздел 1. Дескриптивная теория функций.
- Глава 1. Элементы общей теории множеств.
- § 1. Множества, подмножества
- § 2. Действия над множествами
- III. Разность множеств
- IV. Дополнение к множеству
- § 3. Мощность множества
- § 4. Сравнение мощностей
- § 5. Счетные множества
- 1) Из каждого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество, причем так, что останется бесконечное множество. Доказательство
- 4) Объединение конечного числа счетных множеств счетно. Доказательство
- 5) Объединение счетного дизъюнктного семейства конечных множеств счетно. Доказательство
- § 6. Мощность континуума
- 8O Если элементы множества определяются конечным или счетным количеством индексов, каждый из которых независимо от других принимает c значений, то это множество имеет мощность c. Следствие
- 9O Объединение континуального дизъюнктного семейства множеств мощности c есть множество мощности c . Доказательство
- § 7. Функциональная мощность
- § 8. Упорядоченные множества
- § 9. Вполне упорядоченные множества Определение
- § 10. Трансфинитные числа
- § 11. Континуум - гипотеза
- Глава 2. Множества в пространстве Rn
- §1. Метрические пространства
- §2. Специальные точки множеств
- §3. Открытые множества
- 40. Ш (x0, r) есть открытое множество.
- §4. Замкнутые множества
- 0 С f с Rn. Vx0 е g. Точка X не может быть точкой
- 0 С g с Rn . Пусть x0 - любая точка прикосновения f,
- 30 . Пересечение произвольного непустого и объединение конечного семейств замкнутых множеств замкнуты.
- 1. Существует бесконечное множество номеров /
- X е (X j y)' имеем (X j y)' с X' j y. /
- §5. Структура откры1ты1х и замкнутыых множеств на прямой
- §6. Множества на плоскости, в пространстве и в Rn
- Глава 3. Функции вещественных переменных
- §1. Непрерывность функций
- §2. Непрерывные функции на замкнутых множествах
- §3. Точки разрыва
- 2. Если не существует хотя бы одного из односторонних пределов, то это точка разрыва 2-го рода.
- §4. Последовательности функций
- §5. Классификация Бэра
- §6. Функции ограниченной вариации
- 20. Функция класса Липшица (r. Lipschitz) есть фов. ► "(t),
- 60. Разность фов есть фов. Аналогично 50.
- 70. Произведение фов есть фов.
- 2. Достаточность
- 1. Необходимость.
- Раздел 2. Метрическая теория функций
- Глава 1. Измеримые множества § 1. Движения в пространстве Rn
- § 2. Проблемы построения меры
- § 3. Мера Жордана
- 2. Канторово множество f0.
- 4°. Конечная аддитивность меры Жордана. Если
- § 4. Построение меры Лебега
- § 5. Мера открытых множеств
- § 6. Мера замкнутых множеств
- § 7. Внутренняя и внешняя меры
- § 8. Измеримость множеств
- § 9. Класс измеримых множеств
- § 10. Сходимость почти всюду
- § 11. Мера Лебега в пространстве Rn
- § 12. Связь мер Жордана и Лебега
- § 13. Мера абстрактных множеств
- 5. Найти меру Лебега множества
- § 1. Измеримость функции
- 60. Если f измеримы на X, то измеримыми будут такие
- § 2. Последовательности измеримых функций Теорема 1
- § 3. Структура измеримых функций
- 2. F( X) не ограничена. По теореме 1 построим
- Глава 3. Интеграл
- § 1. Интеграл Римана
- 1. Необходимость
- 2. Достаточность
- 1. Необходимость
- § 2. Интеграл Стилтьеса
- § 3. Интеграл Лебега
- § 4. Сравнение интегралов Римана и Лебега
- § 6. Обобщенный интеграл Лебега от функций произвольных знаков
- 10. Суммируемая функция почти всюду конечна.
- 20. На множестве меры нуль суммируема любая функция и интеграл равен нулю.
- 3 Lim Sr(t) - c(b- a) - (r)Jcdx.
- 5. Вычислить (l)j f (X)dx, f (X)
- 8. Суммируема ли на (-1,8), f (X) - dx
- (0,1)Глава 4. Пространства суммируемых функций
- § 1. Линейные пространства
- § 2. Нормированные линейные пространства
- III. Пространства последовательностей 1. Ограниченных последовательностей, m или .
- § 3. Эвклидовы и унитарные пространства
- X становится линейным нормированным пространством. Примеры
- § 4. Гильбертовы пространства
- § 5. Пространство суммируемых функций l (х)
- If (X )e l ( х), le r, то l ( х) есть вещественное линейное
- § 6. Пространство функций с суммируемым квадратом
- § 7. Пространства функций, суммируемых с данной
- X X у Имеем требуемое неравенство. Теорема доказана.
- § 8. Пространства последовательностей 1 p
- § 9. Пространства l2( X) и 12
- 1 В пространство
- Теория функций действительной переменной конспект лекций
- 4 Достаточность