1. Необходимость

Пусть f(x) е Ri[a, b]. Множество точек разрыва A = ^ A₁ .

n=1 n

По теореме 1 mesA₁ = 0 ^ mes* A₁ = 0 . Значит, каждое

nn

множество A₁ можно покрыть системой включающих отрезков

n

e

общей длины —, "e > 0. Тогда все множество A покрывается

не более чем счетной системой отрезков общей длиной ^¥ e

— = e. Это означает, что mA < e "e > 0 ^ mA = 0.

n

n=1 ^z угодно малой общей длиной. Значит, mes*A₁ = 0, тогда A₁

nn

измеримы по Жордану и mesA₁ = 0 . Тогда и mesAg = 0 "g > 0.

n

В силу теоремы 1 f(x) е Ri[a, b]. Теорема доказана.

Перейдем к простому обобщению интеграла Римана.