§ 2. Действия над множествами

Напомним теперь о действиях над множествами. I. Теоретико-множественное сложение - объединение

Au B::={x: xe Av xе B} . Пример: [1;5] u (-1;2)=(-1;5].

Действия над множествами можно иллюстрировать рисунками (диаграммы Эйлера-Венна).

AUB

Понятно, можно рассматривать объединение любого семейства множеств: u A_t.

el

п

При I = {1,2,...,п} пишут u A_i.

i=1

При I = N запись будет u A.

_п=1 ⁱ

Свойства объединения:

10. (A и B) и C = A и (B и C) - ассоциативность;

2⁰. A и B = Bи A - коммутативность;

3⁰. A и A = A - самопоглощение;

4⁰. A и 0 = A;

5⁰. A е B ^ A и B = B;

6⁰. A и B = 0&A = 0AB = 0 .

10. Теоретико-множественное умножение - пересечение

A п B:: = {x: x e A л xe B} .

Пример: [0;1] п (-1;0] = {0}.

Можно рассматривать пересечение любого семейства множеств: п A._i.

ieI

n ¥

Аналогично объединению может быть п A_t; п .

i=1 i=1

Свойства пересечения:

1. (A п B) п C = A п (B п C) - Ассоциативность;

2. Aп B = Bп A - Коммутативность;

3. Aп A = A - Самопоглощение;

4. Aп 0 = 0;

5. A е B^ Aп B = A.

Связь объединения и пересечения:

1. A п (B и C) = ( A п B) и (A п C).

2. (Au B) п C = ( Aп C) u (Bп C).

3. Au (Bп C) = ( Au B)п (Au C).

4. (Aп B) u C = ( Au C) п (Bu C).

Это левая и правая дистрибутивность, u и п друг относительно друга.