§ 6. Мера замкнутых множеств

Пусть множество F Ф0 замкнуто и ограничено, [a₀, b₀ ] - наименьший сегмент, содержащий F . Обозначим G = [a₀; b₀ ] \ F. Тогда G открыто и ограничено.

116

Определение

Мерой множества F называется число mF = (b₀ - a₀) - mG. Примеры

1. F = [ a, b], a₀ = a, b₀ = b, G = 0. m =[ a; b] = b - a - 0 = b - a;

2. F = u [ a_t; Ц ], i * J ^ [a,; b_t ] п [a.; b. ] = 0;

Пусть a₁ < a₂ < ... < a_n. Тогда a_k+1 > b_k. Следовательно, наименьший сегмент, содержащий F, будет [a₁; b_n ].

G = (A,a2)u(b2,a3)u...u(bn-1, an).

n-1 n n

^mF=^bn^{- a}1^- Z (^ak+1^{- b}k )=Z (^bk^{- a}k )=Z ^m [ ^^b].

k=1 k=1 k=1

3. F = F₀ - канторово совершенное множество. F₀ =[0;1]\G₀. mF₀ =(1 -0)-mG₀ = 1 -1 = 0.

Интересно сопоставить этот результат с тем, что F₀ = c. Свойства меры ограниченных замкнутых множеств: 1°. mF > 0.

• Поскольку G е (a₀, b₀), то mG < b₀ - a₀. Тогда mF = (b₀ - a₀)-mG> 0 ◄.

2°. Если F е (a,b), G* = (a,b) \ F, то mF = m(a;b)-mG*.

• Действительно, G* = (a,b) п_% F - открыто ^ имеет меру.

Как всегда, [a₀; b₀ ] означает наименьший сегмент, содержащий F. Тогда (a;b) \ F = ((a;b) \ [a₀; b₀])u G, G = [a₀, b₀] | F, т. е. С* = ((a;b) \ [a₀; b₀]) u G. Эти два множества

открыты и не пересекаются. По свойству аддитивности меры mG* = m((a;b)\F₀) + mG, где F₀ =[a₀,b₀]. Проиллюстрируем наглядно эту ситуацию.

Н Е } )

я Ь₀ *

Очевидно, (a;b) \ F0 = (a, a0) u (b0,b).

^Значит^{, m}((^a,b) I ^F0) = (^a0^-a) + (^b-b0) = (^b-a)^-(^b0 ^-a0). Тогда

mG* = (b-a)-(b₀ -a₀) + mG = (fi-a)-((b₀ -a₀)-mG) = = (fi-a) = mG*, и поскольку mF = (fi-a)-mG* ◄.

3°. F e F₂ ^ mF, < mF2.

• Пусть (a;b)^ F₂. Тогда (a;b) \ F 3(a;b) \ F₂. Эти множества открыты, первое имеет меру не меньше, чем второе, и остается применить 2° ◄.

4°. F e G ^ mF < mG.

• Пусть (a;b) 3 G. (a; b) = Gu ((a; b) \ F). Тогда m (a;b)< mG+m ((a;b) \ F) и 2° ◄.

5°. mG = sup mF.

F eG

• По 4° mG есть верхняя грань {mF} . Остается показать,

что "e> 0$F e G: mF > mG-e.

ⁱ0 ⁱ0

Известно, что mG = £ m (a_i; b_i), (a₂.; b_t) - составляющие

i

интервалы множества G .

ⁿ e Выберем n e N: Z m (a_t; b_t )> mG . Для i = 1,2,..., n возьмем

i=1 ²

e

[g;d]c( a, bi) так, чтобы т[у.Д.]> m(a₂.; b_t)- —. Это

2n

возможно.

n

Положим F = U [g;d], оно замкнуто. Также F. с G.

i=1

Вычислим mF :

^mF = Z ⁿ=1 (^di ^- g) >Z ⁿ=1^m (a; ^bi)^{- n} e> ^{mG - e}.

Ввиду произвольности e > 0, mG = sup mF_t ◄.

F cG

6°. mF = inf mG..

G dF

• Возьмем (a;b) d F, G* = (a; b) \ F - открыто. По 5° "e > 0 , найдем F_e с G*: mF_e > mG* - e . Обозначим G₀ = (a;b) \ Fe. G₀ - открыто, G₀ d F.

mG₀ = m(a;b)-mF_e < m(a;b)-m((a;b)\ F) + e = mF +e ◄.

7°. F = Uⁿ= F, i* j^ Fп F. =0 . Тогда mF = ^mFi.

i=1

• Достаточно рассмотреть F = F, uF₂, F, пF₂ = 0. "e >0,

ee

возьмем G,, G такие, что mG < mF + —, mG < mF + — .

^{1 2 1 1} ₂ ^{2 2} ₂

Обозначим C = G₁u G₂. G d F.

mF < mG < mG₁ + mG₂ < mF1 + mF₂ + e .Ввиду произвольности e > 0, mF < mF, + mF2.

Поскольку F₁, F₂ замкнуты и F₁ п F₂ =0, то существуют

_G

и G открытые, такие, что G d f₁, G d f₂, G п G =0 .

Найдем G₀ з F: mG₀ с mF +e. Тогда G₀ п G** открыты, ограничены и содержат F₁, F₂. Соответственно они не пересекаются. С этого следует, что mF₁ + mF₂ < m (G₀ п G*) +

+m(G0 п G") = m((G0 п (?)u(G0 п G**)).

Поскольку (G0 п G*) u (G0 п G**) с G, то

mF₁+ mF₂ < mG< mF +e . В силу произвольности e> 0, mF_l + mF₂ < mG < mF. Окончательно, mF = mF₁ + mF₂ ◄.