3 Lim Sr(t) - c(b- a) - (r)Jcdx.
1(T)®0
a
Задача 2
b
Вычислить по определению (R)J xdx.
a
Решение
Выполним произвольное (T) - разбиение [a, b].
b
Поскольку f(x) - x непрерывна на [a, b], то 3(R)J xdx и
a
lim f(T) не зависят от выбора точек c, e [ x,, x,,,]. Возьмем
l(T)®0 k k k+1
- xk + xk+1 ck - 2 .
n-1 x + x i n-1 i Sr(T) - Z(xk+1 - xk) -1Z(x2+1 - x2) - 1(b2 _ a2).
k-0 2 2 k-0
2
Задача 3
1
Вычислить (S) | x2 d ( x3 +1).
0
Решение
Поскольку f(x) = x непрерывна на [a, b], а g (x) = x3 +1 монотонна ^ ФОВ, то интеграл существует.
3g (x) = x2, которая интегрируема по Риману на [0,1]. Имеем:
(S) j x d(x3 +1) = (R) j x •(x +1) x dx:
0
1 1 5
0 0
0
Задача 4
Интегрируема ли по Риману на [a, b] функция ограниченной вариации?
Решение
ФОВ имеет на [a, b] не более чем счетное множество точек разрыва. Это множество имеет меру Лебега нуль. Следовательно, ФОВ непрерывна почти всюду на [a, b] и в силу теоремы Лебега, интегрируема по Риману.
Задача 5
f1, x е Q, 1
f (x) = <! - где xе [0,1]. Вычислить (L)j f(x)dx.
I-1, xе Q,
0
Решение
f(x) измерима на [0,1] и ограничена. Действительно, |f (x)\ £ 1"xе [0,1].
[0,1], а < -1,
С^0,1], а = -1,
^0,1], -1 < а < 1, 0, а > 1.
Поэтому $(L)J f(x)dx. f(x) ~ (-1) на [0,1]. Имеем:
0
X ( f > а) измеримо. 1 1 1 (L)J f(x)dx = (L)J(-1)dx = (tf)J(-1)dx = -x0 = -1.
0 0
Задача 6
Суммируема ли на X = (1,2) функция f(x) = . ?
V x -
1
Решение
1
lim , =- = +¥, f (x) неограниченна на X. Она также
ч®1+
0
неотрицательна. Рассмотрим срезку.
n, x е | 1,1 + Д
-
[ f (x)]n 1 x е
Интегралы от срезок:
r 13 3
( L) J[ f (x)]n dx = (n(1 + —) - n) + (- - —)
2 2n2 2 n2
$ lim (L)J[ f(x)]n dx = lim (3 = 3 = [L]J f(x)dx.
n®+¥ j n®+¥ 2 n 2
XX
32
.
Задачи к главе 3
и
Вычислить по определению (R)J x2 dx.
a b
Вычислить по определению (R)Jcos xdx.
3
f ( x) -
-x, x e Q?
Tx • x e Q-
x3, xe Q. 1
Вычислить (S) J xdg( x), g( x)
- Теория функций действительной переменной
- Теория функций действительной переменной
- П 2. Разделы тфвп
- 1. Литература для математиков-теоретиков научного направления. Содержит больше материала, чем наша программа предусматривает:
- 2. Литература для математиков-теоретиков педагогического направления. Содержит практически весь нужный материал и другие вопросы:
- 3. Сборники задач:
- Раздел 1. Дескриптивная теория функций.
- Глава 1. Элементы общей теории множеств.
- § 1. Множества, подмножества
- § 2. Действия над множествами
- III. Разность множеств
- IV. Дополнение к множеству
- § 3. Мощность множества
- § 4. Сравнение мощностей
- § 5. Счетные множества
- 1) Из каждого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество, причем так, что останется бесконечное множество. Доказательство
- 4) Объединение конечного числа счетных множеств счетно. Доказательство
- 5) Объединение счетного дизъюнктного семейства конечных множеств счетно. Доказательство
- § 6. Мощность континуума
- 8O Если элементы множества определяются конечным или счетным количеством индексов, каждый из которых независимо от других принимает c значений, то это множество имеет мощность c. Следствие
- 9O Объединение континуального дизъюнктного семейства множеств мощности c есть множество мощности c . Доказательство
- § 7. Функциональная мощность
- § 8. Упорядоченные множества
- § 9. Вполне упорядоченные множества Определение
- § 10. Трансфинитные числа
- § 11. Континуум - гипотеза
- Глава 2. Множества в пространстве Rn
- §1. Метрические пространства
- §2. Специальные точки множеств
- §3. Открытые множества
- 40. Ш (x0, r) есть открытое множество.
- §4. Замкнутые множества
- 0 С f с Rn. Vx0 е g. Точка X не может быть точкой
- 0 С g с Rn . Пусть x0 - любая точка прикосновения f,
- 30 . Пересечение произвольного непустого и объединение конечного семейств замкнутых множеств замкнуты.
- 1. Существует бесконечное множество номеров /
- X е (X j y)' имеем (X j y)' с X' j y. /
- §5. Структура откры1ты1х и замкнутыых множеств на прямой
- §6. Множества на плоскости, в пространстве и в Rn
- Глава 3. Функции вещественных переменных
- §1. Непрерывность функций
- §2. Непрерывные функции на замкнутых множествах
- §3. Точки разрыва
- 2. Если не существует хотя бы одного из односторонних пределов, то это точка разрыва 2-го рода.
- §4. Последовательности функций
- §5. Классификация Бэра
- §6. Функции ограниченной вариации
- 20. Функция класса Липшица (r. Lipschitz) есть фов. ► "(t),
- 60. Разность фов есть фов. Аналогично 50.
- 70. Произведение фов есть фов.
- 2. Достаточность
- 1. Необходимость.
- Раздел 2. Метрическая теория функций
- Глава 1. Измеримые множества § 1. Движения в пространстве Rn
- § 2. Проблемы построения меры
- § 3. Мера Жордана
- 2. Канторово множество f0.
- 4°. Конечная аддитивность меры Жордана. Если
- § 4. Построение меры Лебега
- § 5. Мера открытых множеств
- § 6. Мера замкнутых множеств
- § 7. Внутренняя и внешняя меры
- § 8. Измеримость множеств
- § 9. Класс измеримых множеств
- § 10. Сходимость почти всюду
- § 11. Мера Лебега в пространстве Rn
- § 12. Связь мер Жордана и Лебега
- § 13. Мера абстрактных множеств
- 5. Найти меру Лебега множества
- § 1. Измеримость функции
- 60. Если f измеримы на X, то измеримыми будут такие
- § 2. Последовательности измеримых функций Теорема 1
- § 3. Структура измеримых функций
- 2. F( X) не ограничена. По теореме 1 построим
- Глава 3. Интеграл
- § 1. Интеграл Римана
- 1. Необходимость
- 2. Достаточность
- 1. Необходимость
- § 2. Интеграл Стилтьеса
- § 3. Интеграл Лебега
- § 4. Сравнение интегралов Римана и Лебега
- § 6. Обобщенный интеграл Лебега от функций произвольных знаков
- 10. Суммируемая функция почти всюду конечна.
- 20. На множестве меры нуль суммируема любая функция и интеграл равен нулю.
- 3 Lim Sr(t) - c(b- a) - (r)Jcdx.
- 5. Вычислить (l)j f (X)dx, f (X)
- 8. Суммируема ли на (-1,8), f (X) - dx
- (0,1)Глава 4. Пространства суммируемых функций
- § 1. Линейные пространства
- § 2. Нормированные линейные пространства
- III. Пространства последовательностей 1. Ограниченных последовательностей, m или .
- § 3. Эвклидовы и унитарные пространства
- X становится линейным нормированным пространством. Примеры
- § 4. Гильбертовы пространства
- § 5. Пространство суммируемых функций l (х)
- If (X )e l ( х), le r, то l ( х) есть вещественное линейное
- § 6. Пространство функций с суммируемым квадратом
- § 7. Пространства функций, суммируемых с данной
- X X у Имеем требуемое неравенство. Теорема доказана.
- § 8. Пространства последовательностей 1 p
- § 9. Пространства l2( X) и 12
- 1 В пространство
- Теория функций действительной переменной конспект лекций
- 4 Достаточность