30 . Пересечение произвольного непустого и объединение конечного семейств замкнутых множеств замкнуты.

► Вытекает из 1⁰ , свойств открытых множеств и законов де Моргана ◄.

Замечание

Объединение бесконечного, в частности, счетного, семейства замкнутых множеств, может не быть замкнутым.

Пример

1,1 m

Если X = j F, F замкнуты, то X называется множеством

=1

типа F_s, в частности при, F = FV ,е N получаем, что

замкнутые множества имеют тип F_s. Из законов де Моргана

получаем: c(G_s) = F_d, c(F_d) = G_s.

4⁰ . X замкнуто тогда и только тогда, когда содержит все свои предельные точки: X' с X.

• 1) Необходимость. Если X замкнуто, то X = X з X'.

2) Достаточность. Пусть X' с X. Точки прикосновения - это либо точки X , либо предельные, не принадлежащие X . Т. к. X' с X, то предельных, не входящих в X, нет. Значит, X с X и X замкнуто ◄.

5⁰. Предельное множество X' замкнуто.

• 1) Если X' Ф 0 , то верно.

2) Пусть X'^0 и Vx₀ е( X') . В VV (x₀) есть бесконечно

много точек из X. Итак, x₀ е X', (X') с X' - замкнуто ◄. 6⁰. X = X j X'.

• Каждая точка X - либо изолированная, либо предельная. Если она изолированная, то входит в X с X. Если она

6

4

предельная, то входит в X'с X ^ X с X u X'. Обратно, если х₀ e X u X', то в " V (х₀) есть точка из X: она сама, если изолированная из X, или X* Ф X₀, X* e X, если она граничная для X. В обоих случаях х e X и X u X' с X. В итоге

X = X u X' ◄.

7⁰. X с Y ^ X с Y.

• Если Л0 e X', то в V (х₀) есть точка х* e X, х* Ф Л0. Тогда

x*e Y ^ х₀ e Y ^ X с Y ◄.

8⁰. X с Y ^ X с Y. ►Вытекает из 6⁰, 7⁰ ◄.

9⁰. (X u Y)' = X' u Y .

7⁰

• 1). X с X u Y, Y с X u Y ^ X' с(X u Y)', г с (X u Y)' ^ ^ X' u Y с (X u Y)'.

2) Покажем, что (X u Y)' с X' u Y . Если (X u Y)' = 0 , то верно.

Пусть (Xu Y)' Ф0, "х₀ e (Xu Y)'.$(x_n)_neN попарно различных точек из X u Y, сходящаяся к Л0. Возможны 2 и только 2 случая.