§ 1. Линейные пространства

Линейным, или векторным, пространством называется множество Х Ф 0, на котором заданы действия сложения его элементов и умножения их на числа, эти действия (операции) неограниченно выполнимы, однозначны и замкнуты на X , и выполнены аксиомы:

1. Сложение ассоциативно:

"a, b, c е X [(a + b) + c = a +(b + c)].

2. Существует нулевой элемент сложения: Зве X : "a е X[ a + в = в + a = a].

3. Все элементы X имеют себе противоположные: "a е X$ (-a )е X : a +(-a) =-a + a = в.

4. Сложение коммутативно: "a, b е X (a + b = b + a).

1. Внешняя ассоциативность:

"a, b е P"a е X ■■■[(a/3) a = a {pa)].

2. Внешняя унитарность: "a е X ■ ■ ■ [1a = a ].

3. Внешняя дистрибутивность для суммы чисел: "a,ре P ■■■"a е X [(a + p) a = aa + pa ].

3.1. Внешняя дистрибутивность для суммы элементов из X: "ае P ■■■"a, b е X ■■■[a( a + b) = aa + ab ].

Здесь P означает множество вещественных R или комплексных C чисел. Если умножение производится на вещественные числа, то X называется вещественным линейным пространством, на комплексные - комплексным.

Примеры

I. Вещественные линейные пространства.

1. Нулевое пространство: 0 = {в},в + в = в,-в = в,1в = в.

2. Rⁿ = {(a₁,a₂,...,a_n),"a_k е R} . Действия покомпонентные.

3. R [ x], полиномы от x.

4. R [ x ], алгебраические дроби.

5. M_{m n} (R), матрицы размера m х n.

6. C[ a, b], непрерывные на [ a, b] функции, действия поточечные.

7. Л или R°, последовательности (a_n)_neN, a_n e R действия покомпонентные.

II. Комплексные линейные пространства

1. Нулевое пространство 0 .

2. Cⁿ - {(a₁,a₂,...,a_n),"a_k e C}.

3. C[ x] , полиномы.

4. C (x), алгебраические дроби.

5. M_{m n} ( C), матрицы.

6. C^¥ , последовательности.

В линейных пространствах рассматривается вычитание векторов: a - b :: a +(-b). Эта операция неограниченно выполнима, однозначна, замкнута на х. Линейной комбинаций данных векторов a₁, a₂,..., a_m называется вектор b - a₁a₁ +... + a_ma_m. Если b - в ^ a₁ - a₂ - ... - a_n - 0, то векторы называются линейно-независимыми. Если S с х, то множество linS линейных комбинаций векторов из S называется линейной оболочкой множества S. Если linS - х, то S называется системой образующих пространства х. Линейно независимая система образующих называется базисом. Запись: BаsX. Мощность базиса называется размерностью пространства: dim х. Корректность этого понятия следует из того, что кардинальные числа любых двух базисов данного пространства равны. Если dim х < IC₀, то х называется конечномерным, в противном случае бесконечномерным.

Линейным (векторным) подпространством пространства х называется такое подмножество Y с х , которое является линейным пространством относительно сужений операций пространства х на Y . Критерий подпространства:

1. "a, b e Y[ a + b e Y].2. "ае P• "ае Y[aaе Y].

Функция f : X₁ ® X₂ называется линейной, если:

1. "a₁, a₂ е X₁[ f (a₁ + a₂) = f (a₁) + f(a₂)] - аддитивность;

2. "а е P"a е X₁ [ f(aa) = a f(a)] - однородность.

Множество линейных функций обозначается L ( X₁, X₂). В частности, рассматривают линейные функционалы - линейные функции из X в R (или C). Их множество само образует линейное пространство относительно обычных действий сложения функций и их умножения на числа. Это пространство называется алгебраически сопряженным к X и обозначается X*. Изоморфизмом линейных пространств называется линейная биекция X₁ на X₂. Запись: X₁ @ X₂. Если dim X = n < ¥, то X* @ X.