If (X )e l ( х), le r, то l ( х) есть вещественное линейное

пространство. Рассмотрим функционал V( f) - [L]J | f(x) | dx.

х

Далее считаем, что х - (a,b), a,be R.

Теорема 1

V ( f) есть норма на L ( х).

Доказательство

Проверим выполнение аксиом нормы. 1. Положительная определенность.

V( f) - [L] j| f (x) | dx> 0, т.к. | f (x) |> 0.

х

2. Отделимость. [L]J| f(x) | dx = 0 влечет, как известно,

X

f ~0, т. е. f есть нулевая функция (с точностью до эквивалентности). Обратно, если f ~0, то

[L]J| f(x)| dx = [L]J0dx =0.

XX

2. Абсолютная однородность.

V(1 f) = [ L]J 11 f( x) | dx =| 11 [ L] J | f( x) | dx =| 11 V( f) (по

XX

свойствам неотрицательных суммируемых функций).

2. Субаддитивность.

V(f + g) = [L]J| f(x) + g(x) | dx =[L]J(| f(x) | + | g(x) |)dx =

XX

= [L]J| f(x) | dx + [L]J| g(x) | dx =V( f) + V(g).

XX

Теорема доказана.

Полученную норму будем обозначать || f || или || f (x.

Наличие нормы позволяет рассматривать сходимость по этой норме. Она называется сходимостью в среднем (иногда добавляют: порядка 1). Можно рассматривать фундаментальные последовательности. Сходимость в среднем означает:

lim[ L]J fn (x)-f, (x )| dx = 0.

n®+¥ J

X

Фундаментальность:

"e > 0$n0(e): m, l > ^ ^ [L]J | f_m(x) - f (x) | dx < e.

X

Как и всюду в нормированных пространствах, X, из сходимости по норме следует фундаментальность.

Также L( X) является эвклидовым пространством. Теорема 2

Функционал j( f, g) = [/]j f(x)g(x)dx является

X

положительно определенным скалярным умножением на L ( X).

Доказательство

Проверим выполнение соответствующих аксиом.

1. Симметричность (коммутативность).

"f (x), g(x) e L(X), j(g, f) = [L] j g(x) f (x)dx =

X

[L]j f(x)g(x)dx = j( f, g).

X

2. Левая аддитивность. "f (x), h(x), g(x) e L( X),

j( f + h, g) = [L] j( f (x) + h(x))g(x)dx =

X

= [L] j ( f( x) g( x) + h( x) g( x))dx = (В силу 12° §6 главы 3)=

X

= [ L] j f( x) g( x)dx + [ L] j h(x) g( x)dx = j( f, g) + j(h, g).

XX

3. Левая однородность. "le R "f (x), g(x) e L( X),

j(1 f, g) = [ L] j (l f (x)) g( x)dx = [L] j 1( f (x) g( x))dx =

XX

= (В силу 10° §6 главы 3) = 1[L] j f(x)g(x)dx = 1j( f, g) .

X

4. Положительная определенность.

Пусть f (x) - ненулевая функция. В пространстве L ( X) это означает, что f (x) ~ 0. f ²(x) Ф 0 на множестве меры 0, тогда и f (x) Ф 0 на множестве меры 0, т. е. f (x) ~ 0, что невозможно.

Теорема доказана.

Итак, в L ( X), fg = [L]j f (x)g(x)dX - скалярное

X

произведение. Это дает возможность рассматривать ортогональность и связанные с ней вопросы.

Однако норма в L ( X) не эвклидова, т. е. L ( X) не является

гильбертовым пространством. Тем не менее выполняется неравенство Коши - Буняковского - Шварца:

^f [L] j f(x)g(x)dxl < [L] j f²(x)dx- [L]jg²(x)dx.

V X J X X

Непрерывные линейные функционалы в L (X) имеют вид l( f) = [L]j f(x)h(x)dx, где h(x) - измеримая и почти всюду

ограниченная на X функция. Топологически сопряженным к L ( X) является пространство M ( X) измеримых и почти всюду ограниченных на X функций. Это пространство также обозначается IT (X). Как и в любом нормированном пространстве, сходимость в среднем (по мере) влечет слабую сходимость.