60. Если f измеримы на X, то измеримыми будут такие

функции: f (x) + 1, If (x), | f( x)|, f ³(x), —где ( f (x) Ф 0),

^{f ( x)}

1e R.

Действительно, рассмотрим множества X(g > a) для указанных функций.

1. X( f + 1> a) = X( f > a-1).

2. 1f ° 0 при 1 = 0 - измеримо.

При 1> 0, X(1f > a) = X ^ f >1.

При 1< 0, X(1f > a) = X ^ f <jj.

, . f X; a < 0,

3. X( f > a) = I ' '

^{1 1} [ X( f > a) U X( f < -a), a > 0.

₂ f X; a < 0,

4. X( f² > a) = \ , , _r

I X( f >4a);a> 0.

X( f > 0); a = 0,

1

X( f > 0) п X( f <-); a > 0, a

1

X( f > 0) u X( f < 0) п X( f <-); a < 0.

a

7⁰. f непрерывная на отрезке [с; d] измерима на нем. Покажем, что F = X( f < a) замкнуто. Если x₀ - предельная точка F и x_n е F, x_n ® x₀, то f (x_n) < a и по непрерывности f будет f (x₀) < a ^ x₀ е F ^ F замкнуто ^ измеримо. Тогда X( f > a) = X \ F - измеримо.

Введем функцию, характеризующую данные множества. Определение

Г 1 [1; хе X,

Пусть ^X е[с;^d]. ^Фу^нкц^ия jx^(х) = ^

[0; хе [с; d] \ X,

называется характеристической функцией множества X.

5. X(f > a):

0; a > 1, X; 0 < a < 1, Y; a < 0,

Действительно, перенумеруем рациональные числа:

Q = (OneN. Тогда X( f > g) = Q(X( f > Гк) п (g < Гк)) измеримо

к=1

как объединение счетного семейства измеряемых множеств.

10°. Пусть f и g конечнозначные измеримые функции на

f

X. Тогда измеримы функции f - g; f + g; fg; —(g Ф 0).

^g

Действительно:

1. a + g(x) измерима "a e R. В силу 9°, X( f > a + g) измеримо, а оно равно X( f - g > a) , а значит, f - g измеримо;

2. f + g = f - (-g) и 6°, 10°.1;

3. fg = 4 (( f + g)² - ( f - g)²) и 6°, 10°.1, 10°.2;

f 1

4. — = f— и 6°, 10°.3 . gg

Таким образом, арифметические действия дают снова измеримую функцию. В сочетании с 6° это будет важно в дальнейшем.