logo
Pogrebnoj

§ 4. Построение меры Лебега

Пусть имеется некоторое решение «легкой» задачи теории меры на прямой или плоскости. Если A с B, то B = A u (B\ A), Aп (B\ A) = 0 . Следовательно, должно быт

ь

m( B) = /( A) + /( B \ A). Итак, A e B ^ /( A)<m( B) - принцип монотонности.

Отсюда следует, что "a, bе ({a}) = 0, т. к. на [0,1] имеется континуум множеств, конгруэнтных {a} . Далее, по М 4*, мера конечного множества равна нулю. Следовательно, (a, b) = [ a, b) = [ a, b) = [ a, b].

Поскольку [0,1] =

Гп 1 ^

Гл 11

= 1

то

0,-1 =

0-

_ n)

_ n _

n

b - a е @ ^ (a, b) = b - a.

0,11u

n )

1,21u... u

n nI

n - 2 n -1

n-1

u

1

n

n

n

Далее это дает? что [ a, b] = b - a при

По принципу монотонности [ a, b] = b - a "a, b е a < b.

Наиболее естественным решением «легкой» задачи теории меры на прямой будет такое, что /G, G - открытое непустое ограниченное множество, есть сумма мер его составляющих интервалов. Меру замкнутых множеств можно определить исходя из их структуры через их дополнения - открытые множества. Произвольные ограниченные множества можно «приближать» «изнутри» и «снаружи» замкнутыми и открытыми множествами. Такой способ построения меры и реализовал французский математик Анри Луи Лебег, Lebeque (1875-1941). Перейдем к изложению этой теории.