§ 8. Пространства последовательностей 1 p

Пусть p е R, p > 1. Обозначим через l_p множество последовательностей. l _p представляет собой вещественное

линейное пространство относительно обычных действий сложения последовательностей и их умножения на числа.

l _p также является эвклидовым пространством: если

a = (a_n), п е N, b = (b_n), п е N, то ab = £ a_kb_k является

k=1

положительно определенным скалярным умножением.

a ± b ^ £ a_kb_k = 0. Рассматриваются все условия, связанные с

k=1

ортогональностью.

Норма в l_p вводится по формуле || x ||= (£| х_к |^p)^p.

k=1

Пространства l _p - банаховы.

Из них гильбертовым есть только 1₂ - его норма эвклидова. Общий вид непрерывно линейного функционала в

пространствах 1_р, при p > 1, будет 1(a) = £ a_kb_k, где

k=1

b = (b_n)_n=_N е L, здесь q - сопряженный показатель для p. Сопряженным к l_p есть l_q.

Общий вид линейного непрерывного функционала в l₁:

1(a) = Z a_kb_k , b = (b_n)_neN - ограниченная последовательность.

k=1

Сопряженным с 1₁ является пространство m ограниченного последовательностей.

Пространство 1₂, как и L²(X), самосопряженное.

Имеем две шкалы банаховых пространств, L^p(X) и 1 . В

них L²(X) и 1₂ - особые, они гильбертовы.

Оказывается, эти пространства очень тесно связаны между собой.