§ 6. Обобщенный интеграл Лебега от функций произвольных знаков

Пусть f (x) измерима на X. Введем понятия положительной и отрицательной частей функции. = f f (x), f (x) > 0, + ^(x) j 0, f (x) < 0,

Г 0, f (x) > 0, f- (x) = \

^-W 1 - f(x), f(x) < 0.

Пример

f+ (x) - f - ( x) -

sin x, x e [0, p], x - 2p, 0, x e (p,2p), Г 0, xe [0,p], x - 2p, 1 - sin x, x e (p,2p).

Очевидно, f (x) - f+ (x) - f_ (x), |f (x)| - f+ (x) + f_- (x).

Поскольку f+ (x), f_ (x) неотрицательны, то можно

рассматривать [L]J f+ (x)dx, [L]| f_(x)dx, поскольку

х х

f+ (x), f_ (x), очевидно, измеримы. Если хотя один из указанных интегралов конечен, то обобщенным интегралом Лебега для

f (x) называется [L]\ f+ (x)dx-[L]\ f_- (x)dx. Это значение

х х

конечно или равно ±¥. Запись: [L]J f(x)dx.

х

Таким образом, 3[L]J f (x)dx тогда и только тогда, когда

х

хотя бы одна из функций f+ (x), f_ (x) суммируема. Если обе они суммируемы, то интеграл конечен и f( x) называется

суммируемой на X. Множество этих функций обозначается L(X). В частности, можно рассматривать L[a, b]. Вопрос о суммируемости функции можно свести к рассмотрению неотрицательной функции.

Теорема

Измеримая f (x) суммируема тогда и только тогда, когда

[L]J f(x)dx < [L]J f(x)|dx.

X X

Доказательство

Поскольку | f | = f+ + f_, то и

[L]J f\dx = [L]J f+ dx + [L]J f_dx.

XXX

Конечность левой и правой частей имеет место одновременно. Неравенство следует из условий:

суммируема f (x), при этом,

f = f+ + f <

Теорема доказана.

Как и для неотрицательных функций, измеримая ограниченная функция суммируема и [ L]J f (x)dx = (L) J f (x)dx.

XX

Свойства суммируемых функций: