§ 11. Мера Лебега в пространстве Rn

При построении меры Лебега в Rⁿ за основу берут

n

параллелепипеды П = a_i;b). Особую роль играют ячейки -

i=1

n

полуоткрытые параллелепипеды: П_с a_t; b_i). Их роль

i=1

заключается в том, что каждое непустое открытое множество

G с Rⁿ есть не более чем счетное объединение дизъюнктного семейства ячеек с конечными «ребрами». Мерой

n

параллелепипеда П = a_{; b) называется число

i=1

nS

гпП = ^( bj - a_i). Мера открытого множества: mG = Zmn_c,, i=1 i=1 ⁱ П_с попарно не имеют общих внутренних точек.

Если F замкнуто, F с П - открытый, G = П \ F, то mF : := тП - mG . Для X с Rⁿ ограниченного, вводится

внутренняя и внешняя меры: m*X = sup mFj, m* X = inf G_{.

F e X ^Gi ^{d X}

Если m* X = m* X, то X называется измеримым. За подробностями отсылаем к литературе [ 9 ], [10 ].