§ 12. Связь мер Жордана и Лебега

Установим основные соотношения указанных мер. Теорема 1

Если X e R ограничено, то mes* X < m* X < m* X < mes* X.

Доказательство

Рассмотрим два случая:

1. X Ф 0, mes* X = lim l_n, l_n - сумма длин заполненных

отрезков ранга n. Поскольку (l_n) n не убывает, то mes* X = sup {l_n } . Заполненные отрезки есть замкнутые

neN

множества, входящие в X и составляющие часть семейства Fj e X. Тогда mes* X = sup {l_n } < sup mF₁ = m* X.

neN F e X

mes* X = inf {L_n}. Включающие отрезки входят в открытые

ne N

множества, содержащие X . Поэтому mes^* X > inf G_i = m^* X .

Gi d X ^j

2. X = 0 верно. Теорема доказана.

Теорема 2

Если множество X измеримо по Жордану, то оно измеримо по Лебегу и mesX = mX.

Доказательство

BmesX = mes* X = mes* X = m* X = m* X, т. е. m* X = m * X, X измеримо по Лебегу, при этом

mesX = mes_* X = mes^* X = m_* X = m^* X = mX .

Теорема доказана.

Замечание

Обратное включение неверно: существуют множества, измеримые по Лебегу, но не измеримые по Жордану.

Пример

X = Q _a;b ]. mes* X = 0, mes * X = b - a. mX = 0 как счетного ограниченного множества.