§ 1. Множества, подмножества

Нам необходимо напомнить основные сведения о множествах, подмножествах, действиях над множествами и свойствах этих действий.

Мы в основном будем придерживаться так называемого «наивного» подхода к теории множеств - пониманию множества как совокупности некоторых объектов, которые объединены вместе по каким-то общим признакам, и эта совокупность рассматривается как один новый объект.

Процитируем создателя теории множеств: «Множество есть многое, мыслимое как единое» (Георг Кантор).

Г. Кантор (Georg Cantor, 1845 - 1918) - великий немецкий математик. Его бессмертной заслугой и было создание теории множеств, являющейся вместе с математической логикой основой всей современной математики. Понятие множества мы будем принимать как основное, неопределимое понятие.

Множество считается заданным, если относительно любого объекта можно установить, входит ли он в это множество. Множества будем обозначать большими латинскими буквами: A, B, C, X, Y,... Объекты, составляющие множество, называются его элементами. Факт принадлежности элемента a множеству A отображается символической записью: a е A. В противном случае пишут: a е A или a £ A .

Договоримся сразу о стандартных обозначениях для некоторых множеств:

N - множество натуральных чисел;

N0 - множество 0,1,2,3,...;

Z - множество целых чисел;

Q - множество рациональных чисел;

R - множество вещественных (действительных) чисел;

C - множество комплексных чисел.

Также еще некоторые множества:

R+ - строго положительных вещественных чисел;

R+ - неотрицательных вещественных чисел.

Множества R_ и R~ определяются очевидным образом.

Множества можно задавать различными способами. Можно, например, перечислять все их элементы: A = {0,1,2,3,4} . Можно указывать свойства, по которым элементы отбираются во множество A = {*: P(я)} . Здесь P(x) - некоторое свойство

(одноместный предикат). Может не оказаться элементов с указанными свойствами. Так мы приходим к понятию пустого множества, не имеющего ни одного элемента. Оно обозначается 0 или Л. Итак, 0 = { x: x ф x} .

Равенство множеств определяют исходя из принципа объемности (равнообъемности): два множества считаются равными, тогда и только тогда они состоят из одних и тех же элементов:

A = B::=[ae A^ ae B]A[Vbe B^ be A]

Равенство множеств, очевидно, обладает свойствами:

1⁰. Рефлексивность: VA[ A = A].

2⁰. Симметричность: VA, B [ A = B ^ B = A].

3 ⁰. Транзитивность:

VA, B, C [ A = BLB = C ^ A = C].

Если Va e A ^ a e B, то множество A называется подмножеством множества B. Запись A е B.

В этой ситуации называется надмножеством или расширением множества А.

Запись: B з A. Например, Z е Q, Q з Z. Подмножества 0 и A имеются у каждого множества. Они называются несобственными или тривиальными. Другие подмножества, если они есть, называются собственными или нетривиальными. Таким образом, B - собственное подмножество множества A , если 0 е B е A.

ф Ф

Скажем, что Z - собственное подмножество для Q. Не всякое множество имеет собственные подмножества. Например, A = {1} . Подмножества, очевидно, имеют свойства:

1⁰. VA[0 е A].

2⁰. VA[ A е A] - рефлексивность.

3⁰. VA, B[ A е BLB е A ^ A = B] - антисимметричность.

4⁰. VA, B, C[ A е BLB е C ^ A е C] - транзитивность.

Очевидно также, что A = B ^ A е BLB е A.

Можно рассматривать множество некоторых или всех подмножеств данного множества (иногда говорят: семейство множеств, хотя этот термин употребляется также в несколько другом значении: имеется множество индексов I = {i} и

функция i® A, тогда записывают {A}._>_₁ и говорят, что задано

семейство или индексированное семейство множеств). Множество всех подмножеств данного множества X называется его булеаном (в честь одного из создателей математической логики Джорджа Буля, George Boole, Англия, 1815 - 1864). Запись: b( X) ,2^x,exp X. Смысл двух последних

символов прояснится немного позднее. b( X) = { A: A с X} .