logo
Pogrebnoj

§ 3. Мера Жордана

Проблема построения теории меры важна и сама по себе, и в теоретическом, и в практическом плане. Но особенно она важна в теории интеграла. Необходимость обобщения интеграла Римана и заставила математиков заниматься теорией меры (хотя не только это). Французский математик Камиль Эдмон Мари Жордан, Jordan (1838-1922) разработал теорию меры множеств, обобщающую геометрические понятия. Изложим основные положения этой теории в обзорном порядке. Пусть X с R, X ^0, X -ограничено.

Тогда 3a, bе R: X a, b]. Выберем a, bе Z, это всегда возможно. Пусть b - a = k е N. Разобьем [a, b] на k равных

частей. Это сегменты ранга 1. Относительно множества X они есть двух типов.

  1. Заполненные сегменты. Состоят исключительно из точек из X . Обозначим сумму их длин через l1 .

  2. Включающие сегменты. Имеют хотя бы одну точку из X . Их сумму длин обозначим L1 .

Очевидно, l1 < Ц. Разделим каждый сегмент ранга 1 на S равных частей. Например, S = 10. Определим заполненные и включающие сегменты ранга 2. Вычислим l2 и L2 . Продолжим процесс. Получим две последовательности неотрицательных чисел: (ln )eN, (Ln )neN . Они имеют названия: нижняя и верхняя последовательности Жордана для X. Очевидно, они монотонны: (ln)neN неубывающая, (Ln)eN невозрастающая.

(ln )eN ограничена сверху, например, числом b- a; (Ln )neN

ограничена снизу, например, нулем. Тогда З lim ln = l0 е R, З lim Ln = L0 е R. l0 называется внутренней или

нижней мерой Жордана множества X и обозначается mes* X;

L0 - внешняя или верхняя мера, mes*X. Итак, поскольку l < L Vn е ^, то mes* X = mes* X.

n n ' *

Если mes* X < mes* X , то X называется измеримым по Жордану, а общие значения его внутренней и внешней мер называются мерой Жордана множества X . Запись: mesX .

Примеры

1. X = [0,54;3,75)u{5,22} .

0,54 3.75 5,22

0 1 2 3 4 5 й

Здесь [а, б] = [0,6], k = 6. Сегменты 1-го ранга заполненные: [1,2] и [2,3], lj = 1 +1 = 2. Включающие сегменты 1-го ранга: [0,1], [1,2], [ 2,3], [3,4], [5,6], L = 5. Примем 5 = 10.

Определяем сегменты 2-го ранга (до десятых). Заполненные: [0,6;3,7] - в сумме, l2 = 3,1. Включающие (в сумме):

[0,5;3,75] u [5,2;5,3] L = 3,25 + 0,1 = 3,26.

Переходим к сегментам ранга 3. Заполненные: [0,540; 3,749], l3 = 3,209 . Включающие:

[0,540;3,750] u [5,220;5,221], L = 3,21 + 0,001 = 3,211.

Продолжим процесс. Сегменты ранга n: |^0,54; 3,75 -10-

заполненные, ln = 3,21 - 10-n;

[0,54; 3,750] u [5,22 -10-n; 5,22 +10-n ] - включающие, Ln = 3,21 + 2x10-n. mes* X = lim (3,21 - 10-n ) = 3,21,

mes* X = lim (3,21 + 2 x10-n ) = 3,21. Итак, X измеримо по Жордану, mesX = 3, 21

.