§2. Непрерывные функции на замкнутых множествах

Напомним известные из курса математического анализа свойства непрерывных функций, заданных на замкнутом ограниченном множестве F с Rⁿ .

Теорема 1 (1-я теорема Вайерштрасса)

Функция f, непрерывная на замкнутом ограниченном

множестве F с Rⁿ, ограничена на нем.

Теорема 2 (2-я теорема Вайерштрасса)

Функция f, непрерывная на замкнутом ограниченном

множестве F с Rⁿ, достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений.

Теорема 3 (Кантор)

Функция f , непрерывная на замкнутом ограниченном множестве, равномерно непрерывна на нем.

Доказательства можно найти в литературе по математическому анализу. Установим и новые результаты.

Теорема 4

Функция f , непрерывна на замкнутом множестве F с Rⁿ тогда и только тогда, когда "a е R множества {x: f (x)< a} и {x: f (x)> a} замкнуты (xе F).

Доказательство

1. Необходимость.

Пусть aе R задано. Обозначим E = {x: f (x) > a}. Пусть

(^xm Ln ^{C E x}m ® ^x0. ^{F 3аMKH}У^{T0, тог}д^{а x}0 ^{е F} .

В силу непрерывности f, f (x_n)® f (x). Ho f (x_m )> a "m е N ^ f (x₀ )> a ^ x₀ е E и E замкнуто.

Для другого множества аналогично.

2. Достаточность.

Пусть x_m е F, x_m ® x₀. Тогда x₀ е F. "e > 0 , рассмотрим два множества:

E ={xе F: f (x)> f (x>) + e}, E₂ ={xе F: f (x)< f (x0)-e} .

Эти множества замкнуты, ^ E = E U E₂ замкнуто. x^E ^ x₀ не есть предельная точка E. Тогда имеется окрестность V (x^d; F), не содержащая ни одной точки из E. Но x_m входит в нее при достаточно больших m, ^ x_m е E при

m>m₀. Тогда f (x₀)-e< f (x_m)< f (x₀) + e. В силу

произвольности e

f (x_m)® f (x₀) ^ f непрерывна. Теорема доказана.

Указанные множества часто обозначают F (f > a) и

F ( f < a). Следствие

Функция f непрерывна на всем пространстве Rⁿ тогда и только тогда, когда "a е R множества R"( f > a) и R"( f < a) открыты. Теорема 5

Множество точек непрерывности функции f, заданной на замкнутом или открытом множестве на прямой, есть множество типа G_d (в частности, это может быть 0 или R). Примем эту теорему без доказательства. В заключение отметим, что если х₀ - изолированная точка

множества X с R, на котором задана функция f, то f (x) непрерывна в точке х₀. Действительно, x_n ® x₀ возможно лишь тогда, когда при n > n₀ ^ x_n = x₀, и тогда f (x_n )= f (x₀)® f (x₀). Иногда непрерывность с учетом этого соображения называют обобщенной непрерывностью.