§5. Структура откры1ты1х и замкнутыых множеств на прямой

Установим строение открытых и замкнутых множеств на R. Теорема 1

Если замкнутое множество F непусто и ограничено сверху (снизу), то оно имеет наибольший (наименьший) элемент.

► Пусть F ограничено сверху. Тогда 3x₀ = sup F < +¥.

^ "n e NBx_n e F: x₀ - — < x_n < x₀. Тогда при n ® ¥ ^ x_n ® x₀

n .

x₀ - предельная точка F, F замкнуто ^ x₀ e F, x₀ - наибольший элемент F. Для ограниченных снизу множеств аналогично ◄.

Следствие

Если непустое замкнутое ограниченное множество дано, то существует наименьший сегмент [a, b], содержащий F. Пусть теперь G Ф 0 открыто.

Определение

Если (a, b) с G,ae G, b e G, то (a, b) называется составляющим интервалом множества G . Замечание

Составляющий интервал может быть и неограниченным. Теорема 2

Любые два составляющих интервала не имеют общих точек.

• Пусть (a,f) и (g, d) - составляющие интервалы множества G . Если a= g, то автоматически b= d, иначе один из концов составляющих интервалов вошел бы в G .

Пусть а < g. Покажем, что f£g. Допустим противное: f>g. Получаем: а<у<р^ уе (a,f) ^ уе G, что невозможно ◄.

Теорема 3

Каждая точка G Ф 0 входит в некоторый составляющий интервал.

• Рассмотрим возможные случаи.

1. G = R ^ Vx₀ е (-¥;+¥).

2. Слева и справа от x₀ есть точки, не входящие в G . Тогда они принадлежат замкнутому множеству F = cG . Обозначим F = FП [x₀; +<»). F₁ замкнуто и ограничено

снизу точкой x₀ .

По теореме 1 F_l имеет min элемент fb > x₀, т. к. x₀ е F_x. Отсюда [x₀;f) с G.

Аналогично Зае G: (a, x₀ ]с G. Значит, x₀ е (a,f) и а,ре G^ (a,f) - составляющий интервал G.

3. Если справа от x₀ нет точек не из G, а слева есть то x₀ е (а;+¥) - составляющий интервал G .

4. Аналогично, если слева от x₀ нет точек не из G, а справа есть, то x₀ е (-¥ f) ◄.

Теорема 4

Семейство составляющих интервалов непустого открытого множества не более чем счетно.

В каждом составляющем интервале (a;f) выберем по одной рациональной точке. Получим взаимнооднозначно

е

• соответствие {(a ,Д )}_iej составляющих интервалов (оно взаимно-однозначно, т. к. соответствующие интервалы попарно не пересекаются) и некоторым подмножеством Q* с Q, а оно не более чем счетно ◄.

Теорема 5

Каждое непустое открытое множество на прямой есть не более чем счетное объединение дизъюнктного семейства составляющих интервалов.

► Дизъюнктность и не более чем счетность {(о\ ,Д. )}_iej уже

1.

ieJ

. («,А )с G^iej ^ U (a ,b ) = a с g.

ieJ

2. Vx₀ e G входит в некоторый (a_i ,Д.) ^ G с A.

3. Тогда G = A ◄. Теорема 6

Каждое открытое непустое множество есть объединение счетного семейства отрезков.

► В силу теоремы 4 достаточно показать для (a; b), (-¥; a), (a, .

Действительно, ( a, b) = u

n=no

11

a+-;b— nn

1 b - a

при — < .

n

3

1

( a, +¥) = U

1

a - n; a —

n

(-¥; +to)= u [-n;n] ◄.

n=1

Следствие

G #0 есть множества типа F_s. Перейдем к замкнутым множествам

.Используя результат о дополнении открытых и замкнутых множеств, сразу же устанавливаем структуру замкнутых множеств на прямой.

Теорема 7

Каждое не пустое замкнутое множество на прямой есть либо вся прямая, либо получается из прямой удалением не более чем счетного дизъюнктного семейства интервалов. В частности, непустое замкнутое ограниченное множество есть либо сегмент, либо получается из сегмента удалением указанного семейства. Следующим будет такой факт.

Теорема 8

Каждое непустое замкнутое множество есть пересечение счетного семейства открытых множеств, т. е. множество типа

G_s.

► Действительно, F = R \ G и используя законы де Моргана. Таким образом, c ( F_s) = G_d, c ( G_d ) = F_s. Открытые и

замкнутые множества есть одновременно множества и типа G_d,

и типа F_s ◄.

0^;1

1 2 _ з^;з

часть, а крайние снова разделим на 3 части и каждую среднюю часть удалим. Продолжим процесс.

^G0=[М]^jjj....^G=^c. ^{Хоть и ст}P^{анно, но}

F₀ =[0,1] \ G₀ также континуально. F₀ совершенно, G₀ открыто, F₀ замкнуто.