Теория функций действительной переменной

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИИ

для студентов специальности 6.04030101 «Прикладная математика»" всех форм обучения

Утверждено

на заседании кафедры

прикладной и вычислительной

математики

как конспект лекций

по дисциплине «Теория функций

действительной переменной».

Протокол № 8 от 27.03.2012 г.

Сумы

Сумский государственный университет 2012Теория функций действительной переменной : конспект лекций / составитель В. Д. Погребной. - Сумы : Сумский государственный университет, 2012. - 239 с.

Кафедра прикладной и вычислительной математики

СОДЕРЖАНИЕ

С.

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 2

КОНСПЕКТЛЕКЦИЙ 2

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 3

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИИ 3

а\в 15

( А \ Д) п (А \ Аг ) = 0 ( д\ Аг ) п ( а \ Аз )=0 23

2o Если A = U A, 1Ф j ^ A П Af =0, A = c, то A = c 37

Возьмем набор точек 0 = x0 < x1 < x2 < ... < xx i < xn = 1. 37

склеивания A = u A = ^ [xk-1, xk) = [0,1) = c. 38

3o A = u A, 1 ф j ^ A п A,. = 0, A = c ^ A = c. 38

. («,А )с G^iej ^ U (a ,b ) = a с g. 77

х = щ, k = 1,2,...,n 101

(L) J [ f\dx = 0 ^ [ L ]J f (x)dx = 0. 202

^ [ l ] J a fi - EIf i] П0) dx< [ l ] J a fi - nf i] П0) dx. 216

= (L) J n2 dx = ( R)J n2dx = n ® +¥ fn (x) ® 0 . 245

[i] f t—(x)dx = limi (- - - 1 264

Предлагаемый курс лекций по дисциплине «Теория функций действительной переменной» предназначен для студентов специальности «Прикладная математика». Курс лекций содержит больше материала, чем реально можно изложить в лекционном курсе, и может быть использован для индивидуальной работы со студентами и самостоятельной работы студентов. Он также может использоваться как пособие при изучении дисциплин прикладного математического цикла. Данная дисциплина должна основательно подготовить студентов к изучению функционального анализа, занимающего важное место в подготовке специалиста по прикладной математике.

Курс лекций имеет два раздела. Первый раздел посвящен дескриптивной теории функций, второй - метрической теории функций. В конце каждой главы даются решения типовых задач и предлагаются задачи для самостоятельного решения. Список рекомендованной литературы, естественно, не является исчерпывающим.

ВВЕДЕНИЕ

п 1. Предмет теории функций действительной

переменной

Теория функций действительной переменной представляет собой следующий после классического математического анализа этап развития анализа в широком понимании этой математической науки («большого анализа»). В основном развитие идет не «вширь», а «вглубь», т. е. в плане исследования и обобщения результатов и понятий классического анализа. отдельные факты теории функций действительной переменной (ТФВП) были открыты уже в рамках классического анализа в

19. веке. Например, непрерывные нигде не дифференцируемые функции, ряды непрерывных функций с разрывной суммой и т. п. но тогда они еще не воспринимались как система, а считались исключениями из правил. но «странности» накапливались, требовалась реакция на них. И только в начале

20. века, когда математика стала переходить на основу в виде теории множеств и математической логики, оформилась, и начала систематически развиваться ТФВП. В ее развитие внесли свой вклад многие видные математики разных стран, и в нашем курсе мы будем их упоминать.

ТФВП основывается на классическом анализе и теории множеств, тесно связана с линейной алгеброй и геометрией. Через ТФВП лежит путь к функциональному анализу и общей топологии, т. е. современному анализу.