60. Разность фов есть фов. Аналогично 50.

b n-1 n—1

b

к=0 к=0 b

^ V ( f )< L (b - a )<+¥ ^ V ( f )<+¥ ◄.

aa

3⁰. Если f(х) имеет ограниченную производную на [a, b], то f(х) есть ФОВ.

► Пусть $ | f (х) |< K "хе^, b]. По теореме Лагранжа

^{| f} (^хк+1)^{- f} (^хк)^{|£ K | х}к+1^{- х}к L ^{поскольк}у

На [-1;1], f (х) =

0; х = 0

f( х) :

0; х = 0

— — | f (х) |< 2*1*1 + —*1 = — + 2,

2хsin —cos—; х Ф 0

хх

f (х) - ФОВ, хотя при х ® 0 она колеблется бесконечное

количество раз, переходя от возрастания к убыванию и

наоборот.

Замечани

е

Ограниченность вариации не связана напрямую с непрерывностью. С одной стороны, существуют разрывные ФОВ.

Пример

f (х) = {^0;0< ^х<¹ [1; х = 1.

1

Очевидно, V( f) = 1 < +¥ .

0

f ( х)^:

0; х = 0,

. p

хsin — ;0 < х< 1. 2 х

p

Поскольку $ lim хcos— = 0, ибо х - бесконечно малая,

х®+⁰ 2 х

cos ~~ ограниченная величина, то f(х) непрерывна на [0,1].

Возьмем (T), 0 < — <—¹— < ... <¹ < ¹ < 1. Тогда ^{v у} 2п 2п -1 3 2 111 1 V( f, T) = 1 + - +... + >+¥ . Значит, V( f ) = +¥.

0 ^v ' ' 2 _п ⁿ®^+¥ 0

Продолжим изучение свойств ФОВ. 4⁰. ФОВ ограничена на [ a, b].

b

► Пусть V( f) < +¥. Выполним такое (Т): a = х0 < х₁ < х₂ = b,

a

х₁ - произвольна. Обозначим х₁ = х.

bb V ( f; х)=^ (х)- f (a) | +1 f (b)- f (х) < V ( f) по свойству

aa

модуля

,

| f (x)|-| f (a) |<| f (x)- f (a) |, | f (x) | -1 f (b) <| f (b)-f (x) |.

b

Имеем: 2| f (x) | -1 f (a) | -1 f (b) |< V ( f), отсюда

a

| f (x) |< - (| f (a) | +1 f (b) | + V ( f) |, "xe (a, b). Следовательно,

2\

f(x) ограничена на [a, b] ◄. 5⁰. Сумма ФОВ есть ФОВ

bb

• Пусть j(x) = f (x) + g(x), V( f )<+¥, V(g)<+¥ .

aa

Имеем:

^| j(^xk+1 )^-j(^xk) ^|=^{| f} (^xk+1) + g(^xk+1)^{| -1 f} (^xk) + g(^xk+1) ^|=

=|( f (xk+1)-f (xk)) + (g(xk+1)-g(xk))|<

<|f (xk+1)-f (xk )| + |g (xk+1)-g (xk )|. bbb Отсюда V(j)< V( f)+ V(g)<+¥ ◄.

aaa