logo
Pogrebnoj

§ 3. Структура измеримых функций

Здесь мы рассмотрим приближения измеримых функций другими важными классами функций.

Теорема 1

Если f измеримая и почти всюду конечная на X, то "e > 0 $g (x) измеримая и ограниченная на X, такая, что mX(fфg)<e. Доказательство

Введем множества: Ak = X ( f| > k), k е N, B = X (| f| =+¥) . По условию теоремы mB = 0 .

Поскольку очевидно, Д з A2 з A3 з ..., B = п Ак, то

k=1

mAk ® mB = 0 при k ® ¥ . Найдем K0 : mAko < e. Определим на X функцию:

f (x);xе X\ А,

g ( x) =

0; xе Ak ,

k0

g(x) измерима и ограничена: |g| < k0. Также X( f Ф g) = A^ . Теорема доказана.

Смысл этой теоремы в следующем. Измеримая и почти всюду конечная на X становится ограниченной, если отбросить от X множество сколь угодно малой меры.

Рассмотрим без доказательства два вспомогательных результата.

Лемма 1

Пусть множества F1, F2,..., Fn замкнуты и попарно не пересекаются. Если функция j( x) на каждом множестве Ft

n

постоянна, то на F = UF она непрерывна.

i=1

Лемма 2

Пусть F a; b] - замкнуто. Функцию j( x), непрерывную на F , можно непрерывно продолжить с сохранением max модуля на [ a; b]. Доказательство есть в [1].

Теорема 2 (Э. Борель)

Пусть на [a; b] задана измеримая и почти всюду конечная

функция f (x). Тогда "e> 0 A"d> 0 существует непрерывная на отрезке [a;b] функция g(x), такая, что mX(| f -g\ >d)<e. Если | f (x)| < K, то g(x) можно выбрать так, что |g(x)| < K.

Доказательство

Рассмотрим 2 возможных случая:

1. \f (x)|< K Vxe [a; b].

Для заданных e> 0 и d> 0 найдем m e N:K <d и введем

m

множества:

E = X| — K< f< — K|,i = 1,2,...,m-1; | m m J

Em = X j^1 K < f < K .

m

Они измеримы, попарно не пересекаются и JE, = [a; b]. Для

i=1

£ m

построим замкнутое Fi e Et, такое, что mFi —, F = JJFi.

m

Тогда [ a; b] \ F = J (Et \ F), отсюда m [ a; b] - mF < e . Определим

i =1

на F функцию: j(x) = — K при xe Fi. По лемме 1 она

mi

непрерывна на F, j(x)| < K, |f (x)-j(x) < d при xe F.

По лемме 2 распространим на j(x) отрезке [a; b], получим непрерывную на [a; b] g(x). Причем max j(x)| = max |g(x)|, тогда max g (x) < K.

X(| f - g| >d)c[a; b] \ F, так что g(x) - требуемая.