§ 7. Внутренняя и внешняя меры

Пусть множество A с R ограничено. Меру мы пока ввели только для открытых и замкнутых множеств. Способ введения меры произвольного множества указывает 5° и 6° предыдущего параграфа. Это способ приближения «вписанными» и «описанными» замкнутыми и открытыми множествами, мера которых уже определена.

Определение

Внутренней, или нижней, мерой ограниченного множества A называется число m*A = sup mF_t. Внешней, или верхней,

F с A

мерой называется число m A = inf mG_t.

G_t з A

По результатам предыдущих исследований для ограниченных открытых и замкнутых множеств имеем:

_G

* = m G = mG, m*F = m F = mF .

Свойства внутренней и внешней мер: 1°. m* A < m* A.

• Пусть F е A, G з A. Тогда F е G и mF < mG . Следовательно, в силу произвольности F и G {mF: F е A] ограничено сверху числом mG. А тогда sup^_AmF = m* A < mG {mF: F е A] . Множество {mG: G е A]

ограничено снизу числом m* A . А тогда inf mG = m A > m* A ◄.

2°. Если A е B, то m* A < m*B, m A < m B.

• Действительно, F е A ^ F е B. Тогда {mF: F е A] е {mF: F е B] .

Значит, sup {mF] < sup {mF], т. е. m A < m B.

F е A F е B

Для внутренней меры аналогично ◄.

3°. A = u A., I< IC₀, тогда m*A< Z m*A..

^BI TI

► Если Z m* A_t = +¥, то очевидно.

i

Пусть Zi m* A, е +¥ "e > 0.

* e

Найдем G.: G. з A., mG. < m* A. +—, i = 1,2,3... ^{1 i i i i} 2i Пусть A - интервал, содержащий множество A .

Тогда A еА п (uGj , отсюда m*A < m(A п (u g)) = = m(u(А п Gi)) < ZmGi < Zm*A, + e .

Ввиду произвольности e > 0 требуемое неравенство выполняется ◄.

4°. A = u A, I< IC₀, iф j^ A п A_f =0 .

ieI ' ^{0 i j}

Тогда m* A > £ m* A,.

i

► Действительно, "e > 0, i = 1,2,..., n, выберем F: F e Д, e

mF > m* A, —. Поскольку F п F_f =0 , i Ф j, то n ^j

A n Л ^{n n}

m* A > m |u Fl = £ F > £ m* A-e.

V ⁱ=¹ ) i=1 i=1

Ввиду произвольности e > 0, m* A > £ m* .

i

Если I = IC₀, то, переходя к пределу при n ® ¥, имеем: £ ,m*a, <m*A ◄. Замечание

Это свойство не выполняется для недизъюнктного семейства множеств.

Пример

A =[0;1], Д =[0;1]. Д u Аг = A. m* A = 1, m* Д+ m* Д = 1 +1 = 2.

5°. Пусть интервал Ad А. Тогда m* А + m* (c_D А) = mD, c_A А = B.

► Возьмем Fe B: mF> m_*B-e, e> 0 - произвольно. Обозначим G = c_A F, это открытое множество, оно содержит А. Тогда m А<mG = mA-mF<mA-m*B-e. Из произвольности e, m* A + m* B < mA. Установим обратное неравенство. "e > 0 найдем G₀ d A

_*e

открытое, такое, что mG₀ < mA + — . Пусть A = (a;b). Возьмем

_e

интервал (a; b)c(a;b), такой, что a< a <a+— . Множество

F₁= c_DG₁ замкнуто. F₁= c_D A, тогда m* (c_Da)>> mF₁ = = mA-mG₁ > mD-m A-e .

Ввиду произвольности e имеем обратное неравенство, а значит, и нужное равенство ◄.

Следствие

mi (c_D A)-m*( c_D A) = mm A - m* A.