Непрерывность функции, классификация точек разрыва

Определение 23. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке , если выполняются следующие три условия:

1) функция y=f(x) определена в точке () и в ее окрестности;

2) существует ;

3) .

Если воспользоваться определением 19 предела функции по Коши, то определение непрерывной функции можно переписать в виде:

Введем обозначения: и назовем приращением аргумента х в точке , откуда ; и назовем приращением функции y=f(x) в точке . Очевидно, приращения и могут быть как положительными, так и отрицательными.

Из определения 23 с учетом введенных обозначений получаем еще одно определение непрерывности функции в точке.

Определение 24. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x= если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т. е.

.

Из определения 23 и теоремы 8 следует, что функция y=f(x) является непрерывной в точке x=, если

Определение 25. Функция, непрерывная во всех точках множества X, называется непрерывной на этом множестве.

Сумма, произведение конечного числа непрерывных на некотором множестве X функций, есть непрерывные на этом множестве функции. Частное от деления двух непрерывных на некотором множестве X функций есть функция, непрерывная во всех точках этого множества, в которых делитель отличен от нуля.

Если y = f(u), – непрерывные функции своих аргументов, то сложная функция является непрерывной функцией независимой переменной х.

Если в точке x= условия определения 23 нарушены (т.е. функция f не определена в точке x=, или не существует, или ), то функция называется разрывной в точке x=, а точка – точкой разрыва.

Если x= – точка разрыва функции y=f(x), то справедлива следующая квалификация:

1. Точка называется точкой разрыва первого рода функции y=f(x), если в этой точке существуют конечные односторонние пределы, но , или .

Если , то точка называется еще точкой устранимого разрыва; если , то точка называется точкой конечного разрыва.

Величина называется скачком функции в точке разрыва первого рода.

2. Точка называется точкой разрыва второго рода функции y=f(x), если в этой точке хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Все простейшие элементарные функции (,, , sin x, cos x, arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x) непрерывны в каждой точке своих областей определения.