Несобственные интегралы

При введении понятия определенного интеграла предполагалось, что выполняются следующие условия: 1) пределы интегрирования a и b являются конечными; 2) подынтегральная функция f(x) на отрезке [a, b] непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода. В этом случае определенные интегралы называются собственными. Если хотя бы одно из указанных условий не выполняется, то интегралы называются несобственными. При этом определение определенного интеграла (5) теряет смысл.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (первого рода).

Определение 6. Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования от непрерывной функции f(x) на промежутке называется предел . Обозначается .

Таким образом,

=. (14)

Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом интегрирования от непрерывной функции f(x) на промежутке :

=. (15)

Если пределы в правых частях формул (14), (15) существуют и конечны, то соответствующие несобственные интегралы называются сходящимися, если не существуют или бесконечны, – то расходящимися.

Аналогично вводится несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования от непрерывной функции f(x) на промежутке :

(16)

Интеграл (16) называется сходящимся, если оба предела существуют и конечны. Если хотя бы один из пределов не существует или бесконечен, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Интегралы (14) – (16) называются также несобственными интегралами первого рода.

С геометрической точки зрения сходящийся несобственный интеграл означает, что фигура ограниченная кривой , прямыми x=a, y=0 и бесконечно вытянутая вдоль оси Ox, имеет конечную площадь S. Аналогичная геометрическая интерпретация имеет место для сходящихся несобственных интегралов (15) и (16).

Несобственный интеграл от неограниченных функций (второго рода).

Пусть функция неограниченна на конечном промежутке , причем .

Определение 7. Несобственным интегралом от функции f(x) непрерывной на промежутке и имеющей бесконечный разрыв в точке x=b, или несобственным интегралом второго рода называется предел интеграла при :

(17)

Аналогично если функция f(x) имеет бесконечный разрыв в точке x=a, то полагают

(18)

Если же функция f(x) имеет разрыв второго рода в некоторой точке , то

(19)

Если пределы в правых частях формул (17) – (19) существуют и конечны, то соответствующие несобственные интегралы от разрывной функции в точках a, b, и с называются сходящимися, в противном случае – то расходящимися.

С геометрической точки зрения сходящийся несобственный интеграл второго рода означает, что фигура ограниченная кривой , прямыми x=a, x=b и бесконечно вытянутая вдоль оси Oy при , имеет конечную площадь S.