Исследование функций с помощью производных Условия возрастания и убывания функции

Теорема 6 (об условии возрастания (убывания) монотонной функции). Если функция y = f(x) дифференцируема на некотором интервале (а, b) и () для , то эта функция возрастает (убывает) на интервале (а, b).

Доказательство. Возьмем точки из интервала (а, b), причем . Для функции y = f(x) выполняются условия теоремы Лагранжа на отрезке , поэтому существует точка , в которой

Проанализируем полученное равенство: если , то из неравенства следует неравенство , т. е. функция y = f(x) на интервале (а, b) возрастает. Обратно: если , то из неравенства следует неравенство , т. е. функция y = f(x) на интервале (а, b) убывает.