Дифференциалы высших порядков

Пусть y = f(x) дифференцируемая функция, тогда ее первый дифференциал есть также функция переменной x; можно найти дифференциал этой функции.

Определение 4. Дифференциалом второго порядка (вторым дифференциалом) функции y = f(x) называется дифференциал от первого дифференциала функции. Обозначается: или .

Так как не зависит от x, то при дифференцировании считаем постоянным:

Таким образом,

Дифференциалом третьего порядка (третьим дифференциалом) функции y = f(x) называется дифференциал от второго дифференциала функции. Обозначается: или .

Можно показать, что

Аналогично, дифференциалом n-го порядка функции y = f(x) называется дифференциал от дифференциала (n–1)-го порядка функции. Обозначается: или .

Из последнего равенства находим, В частности, при n=1, 2, 3 соответственно получаем:

т. е. производную функции можно рассматривать как отношение ее дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.

Замечание. Отметим, что все приведенные формулы для нахождения дифференциала n –го () порядка функции y = f(x), справедливы только тогда, когда x – независимая переменная. Если мы будем рассматривать функцию y = f(x), где x является функцией от какой-то другой независимой переменной, то ее дифференциалы n –го () порядков будут вычисляться по другим формулам.