Ряды Тейлора и Маклорена

Как известно, для любой функции f(x), определенной в некоторой окрестности точки и имеющей в ней производные до (n+1)-го порядка включительно, справедлива формула Тейлора:

(11)

где остаточный член в форме Пеано. Формулу (11) кратко можно записать в виде:

где

–

многочлен Тейлора.

Если функция f(x) имеет производные любых порядков (т. е. бесконечно дифференцируема) в окрестности точки и остаточный член при , то из формулы Тейлора получается разложение функции f(x) по степеням , называемое рядом Тейлора:

. (12)

Если в ряде Тейлора положить , то получим разложение функции f(x) по степеням x в так называемый ряд Маклорена:

. (13)

Для разложения функции f(x) в ряд Маклорена нужно:

a) найти производные ;

б) вычислить значения производных в точке ;

в) написать разложение (13) для заданной функции и найти его интервал сходимости.

Приведем таблицу, содержащую разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций:

;